Doublement périodique (fonction)

Imaginez un motif dessiné sur un carrelage infini. Un déplacement horizontal précis le laisse inchangé, tout comme un second déplacement dans une direction différente. Une fonction doublement périodique répète ainsi ses valeurs selon deux directions indépendantes du plan complexe.

Ces deux déplacements engendrent un réseau de copies. Il suffit donc de connaître la fonction dans une seule maille, appelée domaine fondamental, pour retrouver ses valeurs dans toutes les autres par translation.

Soit une fonction f sur le plan complexe, éventuellement méromorphe et donc susceptible d’avoir des pôles. Un nombre complexe non nul est une période lorsque l’ajouter à l’argument ne change aucune valeur de f. La fonction est doublement périodique lorsqu’elle possède deux périodes, notées ω₁ et ω₂, telles que $f(z+{\omega }_1)=f(z)\text{et}f(z+{\omega }_2)=f(z)f(z+\backslash omega\_1)=f(z)\backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad\; f(z+\backslash omega\_2)=f(z)$ pour tout nombre complexe z où les deux membres sont définis.

Les deux périodes doivent être linéairement indépendantes sur les réels : si deux nombres réels a et b vérifient $a{\omega }_1+b{\omega }_2=0a\backslash omega\_1+b\backslash omega\_2=0$, alors a et b sont tous deux nuls. Cette condition signifie que les périodes ne suivent pas une même direction. Leurs combinaisons à coefficients entiers forment un réseau de périodes $\mathrm{\Lambda }=\{m{\omega }_1+n{\omega }_2\mid m,n\in \mathbb{Z}\}\backslash Lambda=\backslash \{m\backslash omega\_1+n\backslash omega\_2\backslash mid\; m,n\backslash in\backslash mathbb\; Z\backslash \}$. Chaque élément de ce réseau est encore une période.

Un domaine fondamental contient un représentant de chaque point du plan modulo les translations du réseau. Les valeurs prises dans cette maille déterminent donc toutes les autres. Les fonctions elliptiques sont les fonctions méromorphes non constantes et doublement périodiques : elles peuvent avoir des pôles, mais leur réseau de périodes est discret et de rang 2. Les fonctions de Weierstrass et les fonctions elliptiques de Jacobi en sont les exemples fondamentaux.

La structure repose sur cinq éléments. Le plan complexe fournit le domaine où se déplacent les arguments. La fonction associe une valeur à chaque point où elle est définie. Deux périodes indépendantes, ω₁ et ω₂, fixent deux directions de répétition. Leurs combinaisons entières constituent le réseau des périodes. Enfin, un domaine fondamental découpe une maille représentative de ce réseau.

L’indépendance des deux périodes empêche la maille de s’aplatir sur une droite. Le couple choisi engendre un réseau de périodes, dont les translations imposent l’égalité des valeurs de la fonction. Une fois les valeurs connues dans une maille, ces égalités suffisent à reconstruire la fonction sur toutes ses copies. La forme choisie pour dessiner la maille ne change pas la double périodicité.

Considérons une fonction f ayant pour périodes le nombre réel ω₁ = 2 et le nombre imaginaire ω₂ = i. Dans la maille fondamentale, prenons le point z₀ = 0,4 + 0,3i et supposons que f(z₀) = 5.

1. Les directions sont indépendantes. En effet, pour des réels a et b, l’égalité 2a + bi = 0 impose séparément a = 0 et b = 0.

2. Les translations sont les nombres 2m + ni, où m et n sont des entiers. Le point z = 2,4 + 1,3i s’écrit z₀ + 2 + i : il est la copie de z₀ obtenue avec m = 1 et n = 1.

3. La périodicité donne $f(\mathrm{2,4}+\mathrm{1,3}i)=f(\mathrm{0,4}+\mathrm{0,3}i)=5f(2\{,\}4+1\{,\}3i)=f(0\{,\}4+0\{,\}3i)=5$. Le même raisonnement vaut pour z₀ + 2, z₀ + i et toute autre translation du réseau.

Le contrôle consiste à soustraire une combinaison entière des périodes : (2,4 + 1,3i) − 2 − i = 0,4 + 0,3i. Le résultat retombe bien dans la maille de départ, où la valeur 5 était connue.

Pour reconnaître une double périodicité, on cherche deux translations complexes qui laissent toutes les valeurs inchangées, puis on vérifie que leurs directions sont indépendantes. Si les deux périodes sont sur une même droite, il s’agit seulement d’une périodicité dans une direction.

Pour déterminer une valeur loin de la maille choisie, on soustrait des multiples entiers des deux périodes jusqu’à revenir dans un domaine fondamental. On lit alors la valeur au point représentant, plutôt que de recommencer le calcul complet.

En analyse complexe, ce geste organise l’étude des fonctions elliptiques de Weierstrass ou de Jacobi. On repère aussi les pôles présents dans une maille fondamentale, car chacun d’eux se répète aux points obtenus par translation du réseau.

Fonction périodique dans une seule direction. Elle possède une période, mais une seconde période peut lui être réellement proportionnelle. Le critère décisif est l’indépendance sur les réels : les périodes 2 et 3 restent colinéaires, tandis que 2 et i donnent deux directions.

Fonction elliptique. Une fonction elliptique est méromorphe sur le plan complexe et doublement périodique, avec un réseau discret de rang 2. Une fonction seulement déclarée doublement périodique ne devient donc elliptique qu’après vérification de cette propriété de méromorphie.

Réseau et domaine fondamental. Le réseau est l’ensemble des translations qui répètent les valeurs. Le domaine fondamental est une seule région représentative ; dans l’exemple, les points 0,4 + 0,3i et 2,4 + 1,3i appartiennent à deux copies mais représentent la même classe.

Deux périodes ne suffisent pas toujours. Si l’une est un multiple réel de l’autre, la maille s’aplatit et aucun réseau de rang 2 n’est obtenu. Il faut tester l’indépendance réelle, pas seulement constater que les deux nombres sont différents.

Les périodes de base ne sont pas uniques. Un même réseau peut être engendré par plusieurs couples de périodes. Changer de base modifie le parallélogramme dessiné, mais pas les translations disponibles ni les valeurs répétées.

Le bord demande une convention. Les côtés opposés d’un domaine fondamental se correspondent par translation. Pour ne pas compter deux fois un point du bord, on choisit par exemple deux côtés inclus et les deux côtés opposés exclus.

La fonction constante est dégénérée. Elle admet tous les déplacements comme périodes, donc aussi deux périodes indépendantes, mais son groupe de périodes n’est pas un réseau discret de rang 2. Lorsqu’on étudie les fonctions elliptiques, le cadre pertinent est celui des fonctions méromorphes non constantes.

La fiche fonction elliptique précise le cadre méromorphe où la double périodicité produit un réseau discret de rang 2.

L’entrée plan complexe aide à interpréter les deux périodes comme des déplacements indépendants plutôt que comme deux longueurs sur une droite.

Les notices Weierstrass Karl et Jacobi Carl prolongent les deux familles d’exemples fondamentaux citées dans la définition.