fonction automorphe

Imaginez le plan complexe pavé de carrés identiques. Un point peut être déplacé d'un carré vers la droite ou vers le haut sans que la valeur affichée par la fonction change. La fonction répète ainsi la même information sur tout le pavage.

Une fonction automorphe étend cette idée de répétition. Les déplacements autorisés ne sont plus seulement des translations : ils appartiennent à un groupe de transformations de Möbius. Malgré ces changements de coordonnées, la fonction attribue la même valeur aux points ainsi reliés.

Soit D un ouvert du plan complexe, stable sous les transformations considérées. Une fonction f, méromorphe sur D, est automorphe pour un groupe Γ lorsque chaque élément γ de Γ est une transformation de Möbius qui envoie D sur lui-même et laisse f invariante. Si les nombres complexes a, b, c et d sont les coefficients de γ, alors :La condition sur le déterminant garantit que γ est bien inversible comme transformation de la sphère de Riemann.

L'invariance porte sur tous les éléments du groupe et sur tout point où l'expression est définie :Les points obtenus les uns des autres par l'action de Γ forment une même orbite. La fonction f est donc constante sur chaque orbite, sans être nécessairement constante sur tout D.

Lorsque Γ est le groupe des translations par les combinaisons entières de deux périodes indépendantes, on retrouve les fonctions doublement périodiques, appelées fonctions elliptiques. Les fonctions modulaires constituent un autre cas de cette théorie. Ce cadre relie les symétries complexes à la théorie des nombres, à la géométrie hyperbolique et aux surfaces de Riemann ; il a notamment été développé par Poincaré et Klein à la fin du XIX^e siècle.

Une fonction automorphe réunit cinq données. L'ouvert D indique où vit la variable complexe. Le groupe Γ fixe les symétries autorisées. Chaque élément γ de ce groupe est décrit par quatre coefficients complexes a, b, c et d, avec ad − bc ≠ 0. La fonction méromorphe f peut avoir des pôles dans D. Enfin, l'égalité f(γ(z)) = f(z) relie ces éléments.

Le domaine doit être compatible avec le groupe : transformer un point de D doit conduire à un point où f est encore définie. Les coefficients déterminent les transformations, tandis que leur composition doit rester dans Γ. L'invariance dépend à la fois de ce groupe et de f ; une même fonction peut être étudiée avec différents groupes de symétrie.

Ces données suffisent à regrouper les points en orbites et à chercher une région fondamentale contenant un représentant de chaque orbite. Le dessin de cette région aide à lire la répétition, mais sa couleur, son échelle et le choix de ses bords ne définissent pas la fonction automorphe.

Considérons une fonction méromorphe f doublement périodique, de périodes 1 et i. Les données sont le groupe Γ des translations z ↦ z + m + ni, où m et n sont des entiers, et le point z = 1/3 + i/4. Comparons-le au point z′ = 7/3 − 3i/4, obtenu avec m = 2 et n = −1.

1. La transformation choisie est γ(z) = z + 2 − i. C'est une transformation de Möbius avec a = d = 1, c = 0 et b = 2 − i.

2. Son déterminant vaut ad − bc = 1. Il est non nul, donc γ est admissible.

3. L'image du point se calcule exactement :

4. La double périodicité donne f(z + 2 − i) = f(z) : deux déplacements de période 1 et un déplacement de période −i ne changent pas la valeur. Ainsi f(7/3 − 3i/4) = f(1/3 + i/4). Le contrôle consiste à soustraire les deux arguments : z′ − z = 2 − i, combinaison entière des deux périodes.

Pour étudier une fonction répétée sur un réseau du plan complexe, on cherche d'abord ses deux périodes. Si toutes les symétries utiles sont des translations entières selon ces périodes, le langage des fonctions elliptiques est le plus précis.

Lorsque les symétries sont des transformations de Möbius plus générales, on détermine le groupe Γ puis une région fondamentale. Une valeur de f dans cette région renseigne alors sur tous les points de la même orbite ; traiter séparément chaque copie ferait perdre cette symétrie.

En théorie des nombres, en géométrie hyperbolique et sur les surfaces de Riemann, cette invariance sert à faire descendre une fonction vers l'espace obtenu en identifiant les points équivalents. Si la fonction change par un facteur au lieu de rester égale, l'égalité d'invariance de cette fiche n'est plus le bon test.

Une transformation de Möbius agit sur l'argument z ; une fonction automorphe est la fonction f qui reste inchangée sous tout un groupe de telles transformations. Le test décisif est l'égalité f(γ(z)) = f(z), et non la seule forme fractionnaire de γ.

Une fonction elliptique est doublement périodique : le sous-groupe de translations associé à son réseau de périodes est engendré par deux périodes linéairement indépendantes sur ℝ. C'est un cas particulier de fonction automorphe. Dans l'exemple, les translations par 1 et i justifient donc les deux qualifications.

Une fonction invariante sous une seule transformation n'est pas automatiquement automorphe pour le groupe annoncé. Il faut contrôler tous ses éléments. Si le groupe est donné par des générateurs, vérifier ces générateurs permet de conclure parce que leurs compositions et leurs inverses engendrent les autres éléments.

Si ad − bc = 0, l'expression (az + b)/(cz + d) ne définit pas une transformation de Möbius inversible. Lorsque le quotient est défini sur un domaine non vide, il y est constant ; si le dénominateur est identiquement nul, l'expression ne définit aucun quotient. Il faut écarter ces coefficients.

L'égalité d'invariance n'a de sens que lorsque le domaine est préservé. Si γ(z) sort de D, la valeur f(γ(z)) peut manquer. Il faut restreindre l'action ou choisir un domaine stable sous Γ avant d'affirmer l'automorphie.

Une fonction méromorphe peut avoir des pôles. À un pôle, l'écriture f(γ(z)) = f(z) se lit comme une égalité méromorphe, avec la valeur infinie sur la sphère de Riemann, et non comme une égalité de nombres complexes finis.

Une région fondamentale n'a pas toujours des représentants uniques sur son bord : deux côtés peuvent être identifiés par le groupe. Si un point paraît compté deux fois, il faut appliquer les identifications de bord plutôt que conclure à deux orbites distinctes.

La fiche fonction elliptique approfondit le cas où l'invariance vient de deux périodes indépendantes et d'un réseau de translations.

La fiche Surface de Riemann montre le cadre géométrique où les fonctions méromorphes et les identifications par symétries prennent place.