Surface de Riemann

Imaginez que l'on observe une surface par petites fenêtres. Dans chaque fenêtre, un point reçoit une coordonnée complexe, comme sur une feuille plane. Lorsque deux fenêtres se chevauchent, leurs coordonnées doivent se convertir par une fonction holomorphe, donc compatible avec l'analyse complexe. La surface entière peut pourtant avoir une forme globale différente d'un plan : une sphère ou un tore en sont les modèles les plus familiers. Le nombre de « trous » du support compact donne son genre : 0 pour la sphère et 1 pour le tore.

Une surface de Riemann est une variété complexe de dimension complexe 1, donc de dimension réelle 2. Autour de chaque point, une carte associe un voisinage de la surface à un ouvert du plan complexe ℂ. Une collection de telles cartes qui couvre la surface et dont les changements de cartes sont holomorphes forme un atlas complexe.

Sur le chevauchement de deux cartes, le passage d'une coordonnée complexe à l'autre est holomorphe. Comme ce changement de coordonnées est bijectif entre les ouverts concernés et que son inverse est également un changement de carte holomorphe, il est biholomorphe. Cette compatibilité permet de définir des fonctions holomorphes sur la surface sans dépendre de la carte choisie.

Pour une surface compacte et connexe, le genre g est un entier positif ou nul qui classe la surface orientée sous-jacente du point de vue topologique : la sphère a le genre 0 et le tore le genre 1. Le genre ne suffit toutefois pas, en général, à déterminer la structure complexe à biholomorphisme près. Les surfaces de Riemann relient ainsi fonctions algébriques, courbes algébriques complexes, théorie de Hodge et théorème de Riemann-Roch.

On rencontre une surface de Riemann lorsqu'un problème complexe doit être étudié sur un support qui n'est pas globalement le plan. Trois marqueurs permettent de la reconnaître : chaque petit voisinage possède une coordonnée dans ℂ, les coordonnées se recouvrent sans rupture grâce à des transitions holomorphes, et la forme globale peut porter un genre. Le support encode donc à la fois une topologie, comme le nombre de trous lorsqu'il est compact, et une structure complexe qui autorise le calcul holomorphe. C'est le cadre naturel des fonctions algébriques et des courbes algébriques complexes.

La donnée à lire est double : la forme globale du support et la façon dont ses coordonnées complexes locales s'accordent. Une vérification peut suivre quatre étapes.

1. Repérez le support et les voisinages couverts par les cartes. Chaque carte doit envoyer son voisinage sur un ouvert de ℂ.
2. Sur chaque chevauchement, écrivez le changement de coordonnées dans le bon sens.
3. Vérifiez que ce changement et son inverse sont holomorphes sur leurs domaines.
4. Si la surface est compacte et connexe, situez son genre à partir de la topologie du support.

La convention importante est que le genre décrit la surface orientée sous-jacente, tandis que l'atlas décrit sa structure complexe. L'œil peut reconnaître un tore et conclure trop vite que toute la structure est fixée. Le bon réflexe consiste à contrôler aussi les transitions entre cartes : une même topologie peut porter des structures complexes non biholomorphes.

Partons du carré unité. Les données sont les réels x et y compris entre 0 et 1, la coordonnée complexe z = x + iy et deux paires de côtés opposés à recoller.

1. On identifie le bord gauche au bord droit : z et z + 1 représentent le même point du quotient.

2. On identifie le bord inférieur au bord supérieur : z et z + i représentent le même point. Le quotient s'écrit $\mathbb{C}\mathrm{/}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\backslash mathbb\{C\}/(\backslash mathbb\{Z\}+i\backslash mathbb\{Z\})$.

3. Près d'une couture, le changement de coordonnée est z ↦ z + 1 ou z ↦ z + i, ou la translation inverse. Toutes sont holomorphes. Les coins réunis possèdent aussi un voisinage en forme de disque ouvert.

4. Le carré est compact ; son quotient reste compact et connexe. Les deux recollements donnent un tore à un trou, donc de genre 1.

Pour contrôler chaque couture, ajouter 1 ou i ne change pas le point du quotient, puis retrancher la même quantité rend la coordonnée initiale. Le schéma matérialise les deux recollements.

Pour étudier une fonction complexe sur un support courbe, on l'exprime dans chaque carte puis on vérifie que les expressions locales coïncident sur les chevauchements. Si un seul ouvert de ℂ suffit, le domaine plan ordinaire est plus direct ; plusieurs cartes deviennent utiles quand la géométrie globale ne tient pas dans une coordonnée.

Une courbe algébrique complexe sans singularité peut être considérée comme une surface de Riemann. Lorsqu'une singularité apparaît, il faut d'abord la traiter, notamment par normalisation, plutôt que de la confondre avec un point ordinaire de la surface.

Pour une surface compacte, le genre organise les questions globales et intervient dans le théorème de Riemann-Roch. Si l'on cherche seulement la forme continue du support, la topologie suffit ; si les fonctions holomorphes comptent, la structure complexe complète doit être conservée.

Surface topologique. Elle exige des voisinages ressemblant à ℝ², mais ne spécifie aucune structure complexe. Un tore vu seulement comme espace continu est une surface topologique ; il devient une surface de Riemann après le choix d'un atlas aux transitions holomorphes.

Surface riemannienne. Elle porte une métrique qui mesure longueurs et angles. Une surface de Riemann porte d'abord une structure complexe. Le critère qui tranche est la donnée examinée : métrique pour la géométrie riemannienne, cartes complexes holomorphiquement compatibles ici.

Sphère et sphère de Riemann. Une sphère comme simple surface réelle ne précise pas de coordonnées complexes. La sphère de Riemann est munie de sa structure complexe et peut être vue comme le plan complexe complété par un point à l'infini ; elle est de genre 0.

Genre et classification. Le genre classe les surfaces compactes connexes orientées du point de vue topologique. Il ne classe pas à lui seul les surfaces de Riemann à biholomorphisme près : dès le genre 1, une même forme de tore peut porter des structures complexes différentes.

Singularités. Au croisement ou à la pointe d'une courbe algébrique singulière, le voisinage n'est pas nécessairement un disque complexe. Ce point ne doit pas être traité comme un point ordinaire ; une normalisation permet d'obtenir la surface de Riemann associée.

Bord. Dans la définition usuelle, une surface de Riemann n'a pas de bord, car ses cartes prennent leurs valeurs dans des ouverts de ℂ. Un demi-disque au bord exige une théorie adaptée des surfaces bordées.

Surface non compacte. Le classement par un entier g donné dans le cas compact ne suffit plus. Une surface ouverte peut avoir des comportements globaux supplémentaires ; il faut étudier sa structure complexe et ses extrémités au lieu de lui appliquer automatiquement la classification compacte.

Fonction holomorphe — Pour préciser la régularité exigée des changements de coordonnées et des fonctions locales.

Courbe algébrique — Pour relier une équation polynomiale complexe à la surface obtenue après traitement des singularités.

Aux origines de l’analyse complexe — Pour replacer les fonctions complexes dans le cadre historique qui a fait émerger ces surfaces.