surface compacte

Imaginez un carré souple dont on colle le bord gauche au bord droit, puis le bord du bas à celui du haut. Le carré sert de patron : après ces raccordements, il décrit un tore. On peut y avancer sans rencontrer de bord ni sortir de la surface.

Cette surface est compacte parce qu’elle est l’image du carré compact par le collage de ses côtés opposés. On peut se représenter cette propriété, dans le cas du tore, par l’absence de fuite indéfinie. La sphère est également compacte, même si elle n’a pas de trou. Une surface compacte peut être découpée en un nombre fini de triangles raccordés bord à bord.

Une surface topologique est un espace dont chaque point possède un voisinage qui ressemble au plan ℝ². Si les surfaces avec bord sont admises, un point du bord possède plutôt un voisinage ressemblant à un demi-plan. Selon la convention usuelle des variétés, l’espace est en outre séparé et possède une base dénombrable d’ouverts. La ressemblance au plan reste une propriété locale : elle n’impose pas la forme globale de l’espace.

La surface est compacte lorsque tout recouvrement par des ouverts contient un sous-recouvrement fini. Cette condition globale interdit une fuite vers l’infini et évite aussi qu’un bord manquant soit seulement approché sans appartenir à l’espace. Elle ne signifie pas simplement que le dessin tient dans une zone bornée. La sphère S² et le tore sont des surfaces compactes connexes sans bord. Le disque fermé est compact avec bord, si cette variante entre dans la convention retenue.

Toute surface compacte admet une triangulation finie : elle peut être représentée par un nombre fini de triangles dont les côtés sont raccordés de façon compatible. Les longueurs et les angles de ces triangles ne définissent pas la surface topologique ; leurs incidences et leurs identifications portent l’information. La connexité est une condition distincte de la compacité : selon les auteurs, elle est incluse dans le mot « surface » ou doit être annoncée séparément.

Une surface compacte réunit quatre éléments structurels. Ses points forment l’espace étudié. Des voisinages locaux, comparables au plan ou au demi-plan, assurent la dimension 2. La topologie indique quels voisinages sont ouverts et rend précise la compacité. Enfin, les raccordements entre cartes locales donnent la forme globale : ils peuvent produire une sphère, un tore ou une surface avec bord.

Les voisinages dépendent de la topologie, tandis que les raccordements déterminent comment ils appartiennent à une même surface. La compacité agit sur l’ensemble de cette organisation et garantit qu’une triangulation finie suffit à l’encoder. Sommets, arêtes et faces de cette triangulation permettent alors de calculer des invariants comme la caractéristique d’Euler. La taille, la courbure apparente, la couleur ou la position du dessin ne font pas partie de la structure topologique.

Construisons le tore à partir d’un carré. Les données sont : le carré fermé [0, 1] × [0, 1] ; l’identification du bord gauche avec le bord droit à même hauteur ; l’identification du bord inférieur avec le bord supérieur à même abscisse ; une diagonale qui partage le carré en deux triangles.

1. Le premier raccordement transforme les deux côtés verticaux en une seule classe d’arêtes.
2. Le second transforme les deux côtés horizontaux en une autre classe d’arêtes.
3. Les quatre coins deviennent un unique sommet.
4. La diagonale fournit une troisième arête, et les deux demi-carrés restent deux faces triangulaires.

On note V le nombre de sommets, E le nombre d’arêtes et F le nombre de faces de cette présentation triangulaire. On obtient V = 1, E = 3 et F = 2. Sa caractéristique d’Euler vaut donc $\chi =V-E+F=1-3+2=0\backslash chi=V-E+F=1-3+2=0$.

Le résultat est un tore compact et sans bord : chaque côté du carré a été apparié, donc aucun bord libre ne subsiste. Le contrôle est refaisable sur le patron : il reste exactement une classe de sommets, trois classes d’arêtes et deux faces. Au sens strict des complexes simpliciaux, on subdivise ce patron ; la surface obtenue et la valeur 0 ne changent pas.

Pour reconnaître une surface compacte donnée par un assemblage de polygones, on vérifie d’abord que tous les raccordements sont indiqués et qu’aucune suite de points ne peut tendre vers un bord absent. Si un côté reste libre, l’alternative pertinente est une surface avec bord ; cela n’empêche pas nécessairement la compacité.

Pour effectuer des calculs, une triangulation finie remplace l’espace continu par des listes finies de sommets, d’arêtes et de faces. On contrôle les incidences autour de chaque point avant d’utiliser ce modèle : si plusieurs nappes se croisent en un sommet, il faut traiter un complexe avec singularité plutôt qu’une surface.

Pour comparer deux surfaces compactes connexes, on examine notamment l’orientabilité, le nombre de composantes du bord et le genre : nombre d’anses dans le cas orientable, nombre de plans projectifs dans la décomposition du cas non orientable. Une sphère et un tore sont tous deux compacts et sans bord, mais leur caractéristique d’Euler, respectivement 2 et 0, les distingue.

Surface compacte et surface fermée. Si « fermée » signifie ici « sans bord », cela n’implique pas la compacité : le plan est sans bord, mais non compact. Dans une autre convention, une surface fermée est par définition compacte et sans bord. Le disque fermé tranche : il est compact, mais son cercle périphérique est un bord.

Surface compacte et surface bornée. Être contenu dans une boule de l’espace ambiant n’est pas le critère topologique de compacité. Le disque ouvert de rayon 1 est borné, mais les points de son cercle limite lui manquent ; il n’est pas compact.

Tore et tore solide. Le tore de la fiche est une surface de dimension 2, analogue à la peau d’une chambre à air. Le tore solide contient aussi son intérieur et possède dimension 3. Une coupe transversale donne un cercle dans le premier cas, un disque dans le second.

Convention sur le bord. Certains textes réservent « surface » aux variétés sans bord ; d’autres autorisent les surfaces avec bord. Le symptôme est la présence de voisinages en demi-plan. Il faut annoncer la convention avant de décider si le disque fermé est un exemple de surface compacte.

Connexité non automatique. Une union disjointe de deux sphères est compacte, mais elle comporte deux composantes. Il faut étudier chaque composante ou ajouter explicitement l’hypothèse « connexe » ; la sphère et le tore cités comme modèles le sont chacun.

Patron quotient. Dans le carré du tore, les côtés opposés ne restent pas quatre bords distincts : les flèches imposent leur identification. Compter le carré avant collage donne un résultat trompeur. Il faut compter les classes de sommets, d’arêtes et de faces après les raccordements.

Deux triangles et triangulation stricte. Le carré coupé par une diagonale fournit deux triangles, mais ses quatre sommets deviennent le même point après collage. Cette présentation n’est pas un complexe simplicial abstrait au sens strict. Une subdivision donne une véritable triangulation finie sans modifier le tore ni sa caractéristique d’Euler.

La compacité - topologie - précise la propriété globale qui transforme une surface en surface compacte.

La Topologie quotient formalise le collage des côtés opposés du carré utilisé pour construire le tore.

La caractéristique d’Euler relie sommets, arêtes et faces par un invariant qui distingue notamment sphère et tore.