polyèdre de Csaszar

Prenez sept points et reliez chaque paire : aucun point ne reste sans liaison directe avec un autre. Le polyèdre de Csaszar réalise cet étonnant réseau avec 21 arêtes, réparties sur une surface formée de 14 triangles.

Cette surface possède un trou, comme un tore. Les arêtes ne constituent donc pas le squelette d'un polyèdre ordinaire sans trou : elles dessinent le graphe complet à sept sommets, noté K₇, sur une surface de genre 1.

Le polyèdre de Csaszar est un polyèdre de genre 1 : sa surface est homéomorphe à un tore à un trou. Il comporte sept sommets, vingt et une arêtes et quatorze faces, toutes triangulaires. Son graphe sommets-arêtes est le graphe complet K₇. Autrement dit, pour toute paire de sommets distincts, une arête relie directement ces deux sommets.

Les nombres se répondent. Les sept sommets déterminent $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{2}\right)=21\backslash binom\{7\}\{2\}=21$ paires, donc vingt et une arêtes. Comme chaque face triangulaire porte trois côtés et que chaque arête borde deux faces, les quatorze faces comptent $14\times 3=2\times 2114\backslash times3=2\backslash times21$ incidences face-arête. Enfin, si V désigne le nombre de sommets, E celui des arêtes et F celui des faces, la caractéristique d'Euler vaut $V-E+F=7-21+14=0V-E+F=7-21+14=0$, valeur attendue pour une surface de genre 1.

Découvert en 1949 par le mathématicien hongrois Ákos Csaszar, cet objet réalise en genre 1 une connexion de toutes les paires de sommets. Parmi les polyèdres de genre 0, seul le tétraèdre possède cette propriété. Le polyèdre dual du polyèdre de Csaszar est le polyèdre de Szilassi.

La structure repose sur quatre éléments liés. Les 7 sommets sont les points de rencontre. Les 21 arêtes relient toutes les paires de sommets. Les 14 faces triangulaires se raccordent le long de ces arêtes, chaque arête étant commune à deux faces. La surface de genre 1 fournit le support topologique à un trou sur lequel cet assemblage se ferme.

Deux dépendances imposent les totaux : le graphe complet K₇ fixe les 21 arêtes, puis le partage de chaque arête entre deux triangles donne, par double comptage, un total de 14 faces. Réciproquement, le dual échange sommets et faces : les 14 faces deviennent 14 sommets, les 7 sommets deviennent 7 faces, et les 21 arêtes restent 21 arêtes dans le polyèdre de Szilassi.

La taille, l'orientation ou la couleur d'une représentation ne définissent pas l'objet. Ce sont les incidences entre sommets, arêtes et faces, ainsi que le genre de la surface, qui permettent d'en contrôler la structure combinatoire.

Contrôlons que l'inventaire annoncé peut former une triangulation complète d'une surface de genre 1.

Données.
7 sommets.
Chaque paire de sommets est reliée.
14 faces triangulaires.
Chaque arête borde 2 faces.

Étape 1. Le nombre de paires parmi sept sommets vaut $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{2}\right)=\frac{7\times 6}{2}=21\backslash binom\{7\}\{2\}=\backslash frac\{7\backslash times6\}\{2\}=21$. Le graphe complet K₇ possède donc 21 arêtes.

Étape 2. Les 14 triangles apportent chacun 3 côtés de face, soit $14\times 3=4214\backslash times3=42$ incidences. Chaque arête étant comptée dans deux faces, $42÷2=2142\backslash div2=21$ arêtes sont retrouvées.

Étape 3. La caractéristique d'Euler calculée avec ces nombres est $7-21+14=07-21+14=0$. Elle concorde avec une surface orientable de genre 1.

Résultat. Les trois comptages sont compatibles : 7 sommets entièrement reliés, 21 arêtes et 14 triangles donnent une caractéristique d'Euler nulle. Ce contrôle confirme les totaux, sans suffire à lui seul à reconstruire l'agencement précis des quatorze faces.

Pour vérifier un modèle combinatoire du polyèdre de Csaszar, commencez par la liste des sommets et des arêtes. Une matrice ou une liste d'adjacence doit montrer six voisins distincts pour chacun des sept sommets ; sinon, le graphe obtenu n'est pas K₇.

Pour contrôler les faces, comptez leurs côtés. Quatorze triangles donnent 42 incidences face-arête ; chaque arête doit apparaître exactement deux fois. Si une arête n'apparaît qu'une fois, l'assemblage possède un bord au lieu d'une surface fermée.

Pour reconnaître le rôle du trou, utilisez la caractéristique d'Euler plutôt que la silhouette d'un dessin. Le calcul 7 − 21 + 14 donne 0, compatible avec le genre 1 ; le calcul correspondant au tétraèdre donne 4 − 6 + 4 = 2, compatible avec le genre 0.

Le tore et le polyèdre de Csaszar. Le tore désigne ici le type topologique de la surface, tandis que le polyèdre précise une décomposition en 14 triangles, 21 arêtes et 7 sommets. Une surface à un trou sans cet assemblage n'est pas pour autant le polyèdre de Csaszar.

Le graphe K₇ et le polyèdre. K₇ ne conserve que les sommets et leurs 21 liaisons. Le polyèdre ajoute le choix des faces triangulaires et leur assemblage sur une surface de genre 1. Un dessin de K₇ ne suffit donc pas à définir les faces.

Le polyèdre de Szilassi. Il est le dual du polyèdre de Csaszar, et non un second nom du même objet. La dualité échange ici les 7 sommets avec les 14 faces, tout en conservant 21 arêtes.

Une caractéristique nulle ne suffit pas. Le résultat 7 − 21 + 14 = 0 contrôle la compatibilité avec le genre 1, mais ne décrit pas quelles arêtes bordent chacun des quatorze triangles. Il faut aussi vérifier toutes les incidences entre faces et arêtes.

Les croisements d'un dessin ne sont pas de nouveaux sommets. Lorsque K₇ est tracé sur une feuille, de nombreuses arêtes se croisent visuellement. Dans le graphe, seuls les sept points désignés sont des sommets ; les croisements du tracé ne modifient pas le total.

Homéomorphe ne signifie pas métriquement identique. La comparaison avec un tore porte sur la continuité de la surface et son unique trou. Elle n'impose ni une forme ronde, ni des longueurs ou des angles identiques à ceux d'une représentation particulière.

Le graphe complet ne détermine pas seul le polyèdre. Les 21 arêtes fixent toutes les adjacences entre sommets, mais pas la liste des 14 faces. Pour identifier la structure, il faut conserver à la fois K₇, la triangulation et le genre 1.

La fiche polyèdre de Szilassi présente le dual et rend concret l'échange entre sommets et faces.

L'entrée Graphe complet approfondit la structure K₇ dans laquelle chaque paire de sommets est reliée.

La caractéristique d'Euler explique pourquoi le total V − E + F renseigne sur le type de surface.

L'article Homéomorphisme précise le sens topologique de la comparaison entre ce polyèdre et un tore.

La fiche polyèdre dual développe l'opération qui échange les rôles des sommets et des faces.