polyèdre de Szilassi

Imaginez sept faces nommées F₁ à F₇. Choisissez-en une : son bord rencontre chacune des six autres, sans exception. Le même constat vaut quelle que soit la face de départ.

Cette proximité généralisée distingue le polyèdre de Szilassi. Sa surface n'a pas la topologie d'une sphère : elle est du même type qu'un tore, avec un trou.

Le polyèdre de Szilassi est un polyèdre de genre 1 : sa surface est homéomorphe à celle d'un tore à un trou. « Homéomorphe » signifie ici que l'une des surfaces peut être déformée continûment en l'autre, sans découpe ni recollement.

Il possède 7 faces et 21 arêtes. Sa condition d'adjacence est particulièrement forte : chacune des 7 faces partage une arête avec chacune des 6 autres. Ainsi, chaque paire de faces est voisine.

Découvert en 1977 par le mathématicien hongrois Lajos Szilassi, né en 1942, il est le dual du polyèdre de Csaszar. La dualité relie les deux structures en échangeant le rôle des faces et des sommets tout en conservant les incidences.

La structure combine des faces, des arêtes, des sommets et un trou topologique. Les 7 faces constituent les régions de la surface. Les 21 arêtes forment leurs frontières communes : chaque arête matérialise l'adjacence d'une paire de faces. Les sommets sont les points où ces arêtes se rejoignent.

Le trou distingue le genre 1 d'une surface de type sphérique. Il permet d'organiser toutes les rencontres entre faces sur une même surface. Ni la couleur des faces, ni l'orientation, ni l'échelle d'une représentation ne définissent le polyèdre. La figure d'adjacence encode seulement les voisinages : ses croisements de segments ne sont pas des sommets du polyèdre.

Retrouvons les 21 arêtes à partir de la seule règle d'adjacence, en prenant les sept faces F₁ à F₇ comme exemple conducteur.

Données.
7 faces au total.
Chaque face partage une arête avec les 6 autres.
Une arête commune appartient à la paire de faces qu'elle sépare.

Étape 1. Si nous comptons les voisines face par face, nous obtenons $7\times 6=427\backslash times6=42$ rencontres orientées : F₁ avec F₂, puis F₂ avec F₁, sont alors comptées séparément.

Étape 2. Chaque paire apparaît donc deux fois. Le nombre de paires distinctes, et ainsi d'arêtes communes, vaut $\frac{7\times 6}{2}=21\backslash frac\{7\backslash times6\}\{2\}=21$.

Contrôle. Énumérons les nouvelles paires apportées successivement par les faces : $6+5+4+3+2+1=216+5+4+3+2+1=21$. Ce second comptage retrouve le même total sans doubler les rencontres.

Résultat. Les 7 faces toutes adjacentes deux à deux déterminent exactement 21 arêtes communes.

Pour lire une représentation, commencez par suivre le bord d'une face. Si cette face rencontre les six autres, répétez le contrôle pour chacune : une seule paire non adjacente suffit à écarter la propriété caractéristique du polyèdre de Szilassi.

Pour contrôler les arêtes, remplacez la vue en perspective par le réseau des voisinages entre faces. Reliez deux noms de faces lorsqu'elles partagent une arête. Le réseau attendu relie chacune des sept faces aux six autres et comporte 21 liaisons.

Pour reconnaître le type de surface, ne vous fiez pas à la silhouette du dessin. Cherchez plutôt le passage correspondant au trou du tore : une déformation change l'apparence, mais pas le genre topologique.

Polyèdre de Szilassi et polyèdre de Csaszar. Ils sont duaux, mais ce ne sont pas deux noms du même objet. Le critère décisif porte sur le rôle de l'adjacence : chez Szilassi, les 7 faces sont toutes voisines deux à deux ; la dualité échange faces et sommets.

Polyèdre de genre 1 et tore rond. Dire que la surface est homéomorphe à un tore décrit son type topologique, pas son apparence géométrique. Une réalisation à faces planes peut sembler anguleuse tout en possédant le même nombre de trous qu'un tore.

Un dessin complet n'est pas le polyèdre. Dans le réseau des sept faces, les 21 liaisons se croisent sur la page. Ces croisements graphiques n'ajoutent ni face ni arête au polyèdre : seuls les noms F₁ à F₇ représentent les faces.

Six voisines ne suffisent pas pour une seule face. La propriété exige que chacune des 7 faces partage une arête avec chacune des 6 autres. Il faut donc contrôler les 21 paires, pas seulement partir d'une face privilégiée.

Une rencontre en un sommet n'est pas une adjacence par arête. Deux faces ne comptent ici comme voisines que si elles partagent une arête entière. Un simple point commun ne valide pas la paire ; il faut suivre leur frontière commune.

Le genre ne décrit pas la forme visuelle. « Genre 1 » compte un trou topologique. Étirer ou courber la représentation ne change pas ce nombre, tant que la surface n'est ni découpée ni recollée.

La fiche polyèdre de Csaszar présente l'objet dual et permet de suivre l'échange entre faces et sommets.