GéométrieObjet géométrique · Glossaire
polyèdre eulérien
Un polyèdre eulérien est un polyèdre vérifiant la relation d'Euler : S + F − A = 2, où S désigne le nombre de sommets, F le nombre de faces et A le nombre d'arêtes. Les polyèdres eulériens sont ceux dits « sans trou », c'est-à-dire dont la frontière est homéomorphe à la sphère. La démonstration de cette formule repose classiquement sur l'utilisation des diagrammes de Schlegel, qui permettent de ramener le problème à un calcul combinatoire dans le plan.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les conditions topologiques d’un polyèdre eulérien.
- Vérifier S + F − A = 2 sur un cube avec un double contrôle des arêtes.
- Distinguer polyèdre eulérien, graphe eulérien et polyèdre convexe.
- Adapter la relation lorsqu’une surface possède un trou traversant.
En clair
Prenez un cube et comptez ses coins, ses faces et ses arêtes : il en possède respectivement 8, 6 et 12. En additionnant les deux premiers nombres puis en retranchant le troisième, on obtient 2. Cette stabilité ne dépend ni de la taille ni de l’orientation du cube. Elle caractérise plus largement les polyèdres dont la surface fermée n’a pas de trou traversant : ce sont les polyèdres eulériens.
Définition
Un polyèdre eulérien est un polyèdre dont la frontière est une surface fermée, connexe et sans trou, donc de même type topologique qu’une sphère. Sa convexité, ses longueurs et ses angles ne font pas partie du critère : seule compte ici l’organisation des sommets, des arêtes et des faces.
On note S le nombre de sommets, F le nombre de faces et A le nombre d’arêtes. Ces trois nombres satisfont la relation d’Euler : . La quantité S + F − A est la caractéristique d’Euler de la frontière. Pour une frontière sphérique, elle vaut 2 malgré un découpage plus fin : tracer une diagonale dans une face augmente F et A d’une unité, tandis qu’insérer un sommet sur une arête augmente S et A d’une unité.
Un diagramme de Schlegel projette le squelette d’un polyèdre convexe dans le plan en conservant ses incidences. Les sommets, arêtes et régions planes peuvent alors être comptés comme ceux d’un graphe planaire. Cette représentation fournit la démonstration combinatoire classique de la formule, tandis que l’expression « sans trou » en donne la lecture topologique.
De quoi c'est fait
Le polyèdre réunit trois sortes d’éléments : les sommets, où se rencontrent les arêtes ; les arêtes, qui bordent les faces ; et les faces, qui composent sa frontière. Leurs incidences sont essentielles : déplacer un sommet sans changer les raccordements conserve les trois dénombrements, tandis que couper une arête ou une face peut les modifier ensemble.
Le diagramme de Schlegel du cube rend cette structure visible sous la forme de deux carrés reliés. Ses huit points, ses douze segments et ses six régions correspondent exactement aux 8 sommets, 12 arêtes et 6 faces du cube, y compris la région extérieure. L’échelle, la couleur et la forme dessinée ne définissent pas l’objet ; les raccordements suffisent pour calculer S + F − A.
Un exemple, pas à pas
Vérifions le cube sans nous fier à son apparence en perspective. Les données sont : 8 sommets, 6 faces carrées et 12 arêtes. Chaque élément est compté une seule fois dans le polyèdre entier ; une arête commune à deux faces ne doit donc pas être doublée.
1. Le nombre de sommets est S = 8.
2. Le nombre de faces est F = 6.
3. Le nombre d’arêtes est A = 12.
4. On remplace chaque lettre par sa valeur : .
2. Le nombre de faces est F = 6.
3. Le nombre d’arêtes est A = 12.
4. On remplace chaque lettre par sa valeur : .
Le résultat est exactement 2 : le cube vérifie donc la relation d’Euler. Un contrôle indépendant retrouve les 12 arêtes : les 6 faces portent chacune 4 côtés, mais chaque arête appartient à 2 faces, d’où 6 × 4 ÷ 2 = 12. Les deux comptages concordent.
En pratique
Pour contrôler un modèle de cube, on compte une seule fois chaque sommet, face et arête, puis on calcule S + F − A. Si le résultat diffère de 2 alors que la surface doit être fermée et sans trou, mieux vaut rechercher une face oubliée, une arête doublée ou un mauvais raccordement.
Lorsque deux des trois dénombrements sont connus, la relation permet de retrouver le troisième. Pour le cube, connaître 8 sommets et 6 faces impose 12 arêtes. Si la surface possède un trou traversant, il faut employer sa caractéristique d’Euler adaptée plutôt que forcer le résultat 2.
Pour comparer deux découpages d’une même surface sphérique, on vérifie que les ajouts de sommets, d’arêtes et de faces se compensent dans la relation. Si la question porte plutôt sur les longueurs, les angles ou les volumes, ce dénombrement ne suffit pas : des mesures géométriques sont alors nécessaires.
À ne pas confondre
Un polyèdre eulérien ne doit pas être confondu avec un graphe eulérien. Le premier vérifie un dénombrement entre sommets, faces et arêtes ; le second possède un circuit qui parcourt chaque arête exactement une fois. Le graphe du cube tranche nettement : son polyèdre est eulérien, mais chacun de ses sommets ayant degré 3, ce graphe n’est pas eulérien.
Un polyèdre eulérien n’est pas non plus synonyme de polyèdre convexe. La convexité impose une condition géométrique sur les segments reliant deux points du solide ; la relation d’Euler décrit l’organisation topologique de sa frontière. Tout polyèdre convexe ordinaire vérifie la relation, mais une déformation concave sans trou peut la vérifier également.
Limites et pièges
Le mot « trou » désigne ici un trou traversant de la surface, pas une face manquante dans un dessin. Pour une surface fermée, connexe et orientable de genre g, la relation devient . Le cas charnière g = 1, celui d’une surface en forme de tore, donne 0 et non 2.
Une frontière ouverte, par exemple un cube auquel une face a réellement été retirée, ne satisfait plus les hypothèses de la fiche. Le symptôme est la présence d’arêtes de bord qui n’appartiennent qu’à une face. Il faut alors décrire la surface avec bord et calculer sa propre caractéristique d’Euler, sans conclure à partir du seul seuil 2.
Un assemblage non connexe ou un complexe où les faces se raccordent de manière non conforme n’est pas automatiquement la frontière d’un polyèdre au sens retenu ici. Avant d’appliquer la formule, il faut vérifier que la frontière forme bien une surface fermée et connexe ; sinon, chaque composante et chaque singularité doivent être traitées explicitement.
Pour aller plus loin
La caractéristique d’Euler replace le nombre S + F − A dans un invariant topologique valable au-delà des seules frontières sphériques.
Le diagramme de Schlegel montre comment projeter le squelette d’un polyèdre dans le plan tout en conservant ses incidences.
L’article À la poursuite de la formule d’Euler prolonge l’étude de la relation et de ses manifestations mathématiques.
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