GéométrieFormule · Glossaire
relation d'Euler
La relation d'Euler, également appelée théorème de Descartes-Euler ou formule d'Euler pour les polyèdres, établit une relation entre le nombre de faces, d'arêtes et de sommets d'un polyèdre convexe. Pour un polyèdre de genre 0 — c'est-à-dire sans trou, topologiquement équivalent à une sphère — en notant s le nombre de sommets, a le nombre d'arêtes et f le nombre de faces, on a : s − a + f = 2. Ce résultat fut énoncé par Euler en 1752. Descartes avait découvert une formulation équivalente sans la publier. La première démonstration rigoureuse est due à Cauchy. Les polyèdres vérifiant cette relation sont parfois qualifiés d'eulériens. Pour les polyèdres de genre différent de 0, la quantité s − a + f prend des valeurs distinctes de 2 : elle est la caractéristique d'Euler (ou caractéristique d'Euler-Poincaré) de la surface polyédrique comptée. Pour un graphe planaire connexe muni d'un plongement fixé, en comptant la face extérieure, la relation correspondante V − E + F = 2 peut être démontrée à l'aide d'un diagramme de Schlegel.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier le nombre de sommets, d’arêtes et de faces par la formule s − a + f = 2.
- Vérifier la relation pas à pas sur un cube de 8 sommets, 12 arêtes et 6 faces.
- Reconnaître l’hypothèse de genre 0 et savoir quoi calculer lorsqu’une surface possède un trou.
- Distinguer la relation de valeur 2 de la caractéristique d’Euler plus générale.
- Situer le passage des polyèdres aux graphes planaires.
En clair
Prenez un cube et comptez ce qui le compose : 8 coins, 12 arêtes et 6 faces. En additionnant les coins et les faces, puis en retirant les arêtes, vous obtenez 8 − 12 + 6 = 2.
La relation d’Euler affirme que ce résultat reste 2 pour tout polyèdre convexe, et plus généralement pour une surface polyédrique sans trou. La forme peut changer ; ce bilan entre sommets, arêtes et faces demeure.
Définition
La relation d’Euler, aussi appelée théorème de Descartes-Euler ou formule d’Euler pour les polyèdres, relie trois nombres entiers. La lettre s désigne le nombre de sommets, la lettre a le nombre d’arêtes et la lettre f le nombre de faces. Pour un polyèdre convexe, ou une surface polyédrique de genre 0, leur combinaison s − a + f vaut 2. Le genre 0 signifie que la surface est sans trou et topologiquement équivalente à une sphère.
La quantité s − a + f est un invariant topologique de la surface polyédrique comptée, appelé caractéristique d’Euler, ou caractéristique d’Euler-Poincaré. Pour un polyèdre d’un autre genre, elle ne vaut plus nécessairement 2. Pour un graphe planaire connexe muni d’un plongement fixé, en comptant la face extérieure, la relation correspondante est V − E + F = 2 ; un diagramme de Schlegel permet de la lire.
Euler a énoncé le résultat en 1752. Descartes en avait découvert une formulation équivalente sans la publier, puis Cauchy en a donné la première démonstration rigoureuse. Les polyèdres qui satisfont la relation sont parfois dits eulériens.
Le principe
Si un polyèdre est convexe, ou si sa surface polyédrique est sans trou et de genre 0, alors son nombre s de sommets, son nombre a d’arêtes et son nombre f de faces vérifient :
Pour appliquer la règle, comptez chaque élément une seule fois, calculez d’abord s − a, puis ajoutez f. Le résultat 2 confirme le bilan attendu dans ce cadre.
Quand l'utiliser
La valeur 2 s’applique à un polyèdre convexe et, plus généralement, à une surface polyédrique de genre 0 : elle doit être sans trou et topologiquement équivalente à une sphère. Il faut connaître trois données portant sur le même objet : le nombre total de sommets, le nombre total d’arêtes et le nombre total de faces.
Un polyèdre de genre différent de 0 fournit un contre-cas concret. Sa surface possède un ou plusieurs trous ; attendre automatiquement 2 devient alors incorrect. Il faut calculer s − a + f et interpréter la valeur obtenue comme la caractéristique d’Euler, ou caractéristique d’Euler-Poincaré, de la surface polyédrique comptée.
Un exemple, pas à pas
Vérifions la relation sur un cube. Le comptage porte sur toute sa surface, y compris les éléments cachés dans une vue en perspective.
Données. Le cube possède 8 sommets, 12 arêtes et 6 faces. Il est convexe, donc la relation d’Euler doit donner 2.
Étape 1. La lettre s désigne les sommets : s = 8.
Étape 2. La lettre a désigne les arêtes : a = 12. La lettre f désigne les faces : f = 6.
Étape 3. On remplace les lettres par les nombres comptés : 8 − 12 + 6 = −4 + 6 = 2.
Le résultat est bien 2. Un second contrôle consiste à réorganiser l’égalité : 8 + 6 = 12 + 2, soit 14 = 14. La représentation complète du cube permet aussi de recompter ses 8 sommets, ses 12 arêtes et ses 6 faces sans oublier les parties masquées.
En pratique
Pour contrôler le dénombrement d’un polyèdre convexe, calculez s − a + f. Si le résultat n’est pas 2, recomptez les sommets, les arêtes ou les faces avant de conclure.
Pour étudier une surface polyédrique avec un trou, ne forcez pas la valeur 2. Conservez le même calcul et utilisez la caractéristique d’Euler obtenue pour décrire son type topologique.
Pour passer d’un polyèdre à un graphe planaire connexe, fixez un plongement et comptez aussi la face extérieure : on obtient alors V − E + F = 2. Un diagramme de Schlegel rend visibles les sommets, les arêtes et les régions planes ; ce support est préférable à la vue en volume lorsque l’on veut suivre la structure comme un graphe.
À ne pas confondre
Relation d’Euler et caractéristique d’Euler. La relation s − a + f = 2 est le cas de genre 0. La caractéristique d’Euler est la quantité s − a + f elle-même ; pour un genre différent de 0, sa valeur distingue le cas au lieu de rester fixée à 2.
Formule d’Euler pour les polyèdres et autres formules d’Euler. Le critère est observable dans l’énoncé : la formule traitée ici compte des sommets, des arêtes et des faces. Une recherche portant sur les nombres complexes ne vise donc pas cette relation polyédrique.
Limites et pièges
Présence d’un trou. Le symptôme est un genre différent de 0. Dans ce cas charnière, s − a + f n’est plus imposé égal à 2 ; il faut conserver la valeur calculée comme caractéristique d’Euler-Poincaré de la surface polyédrique comptée.
Comptage incomplet. Une vue en perspective masque souvent des sommets, des arêtes ou des faces. Un résultat autre que 2 pour un cube signale ce piège : il faut recompter l’objet entier, pas seulement ce qui est visible.
Portée de la généralisation. La formule pour les polyèdres ne doit pas être étendue par simple ressemblance à n’importe quel objet. Pour un graphe planaire connexe muni d’un plongement fixé, elle donne V − E + F = 2 lorsque la face extérieure est comptée ; dans un autre cadre, il faut d’abord établir la caractéristique pertinente.
Pour aller plus loin
polyèdre — Identifier précisément l’objet dont la relation compte les sommets, les arêtes et les faces.
graphe planaire — Suivre le prolongement de la relation d’Euler dans une représentation plane.
Euler Leonhard — Situer le mathématicien qui a énoncé la relation en 1752.
Polyèdres : de la formule d'Euler à ses prolongements topologiques — Explorer les prolongements de la caractéristique d’Euler au-delà des polyèdres.
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