arête d'un solide

Prenez un cube et suivez du doigt la ligne où sa face du dessus rejoint sa face avant. Cette ligne est une arête. Elle appartient aux deux faces à la fois et relie deux coins du cube.

On peut ainsi compter 12 arêtes sur un cube. L'image d'un pli ou d'une couture aide à les repérer, mais toutes ne sont pas droites : le bord circulaire de la base d'un cône est aussi une arête.

Une arête d'un solide est la ligne commune à deux faces adjacentes. Dans un polyèdre, les faces sont planes : leur arête commune est donc un segment de droite dont les extrémités sont des sommets. Dans un solide possédant une face courbe, une arête peut être courbe. Le cône en fournit le cas classique : sa base plane et sa surface latérale se rencontrent suivant un cercle.

Pour compter les éléments d'un polyèdre, S désigne son nombre de sommets, A son nombre d'arêtes et F son nombre de faces. Pour une surface polyédrique connexe, fermée et orientable, n désigne son nombre d'anses, aussi appelé genre. La relation d'Euler-Poincaré s'écrit alors $S+F=A+2-2nS+F=A+2-2n$. Pour un polyèdre convexe, il n'y a pas d'anse, donc n = 0 et la relation devient $S+F=A+2S+F=A+2$.

La notion demeure géométrique, mais son emploi se précise selon le contexte : géométrie dans l'espace, dessin technique, génie mécanique ou architecture. Dans tous les cas, il faut d'abord identifier les deux surfaces qui se rencontrent au lieu de décider qu'une ligne visible est forcément une arête.

Un polyèdre s'organise autour de trois sortes d'éléments. Les faces sont ses surfaces planes. Les arêtes forment les côtés communs de faces adjacentes. Les sommets sont les extrémités des arêtes. Une face est donc bordée par des arêtes, tandis qu'une arête relie deux sommets et sépare localement deux faces.

Dans le cube conducteur, chaque face carrée possède quatre côtés. Comme chaque arête est commune à deux faces, les 24 côtés comptés face par face correspondent à 12 arêtes distinctes. La figure met en évidence une arête rouge partagée par la face du dessus et la face avant.

La couleur, l'orientation ou la taille du dessin ne changent pas cette organisation. Ce sont les rencontres entre faces, arêtes et sommets qui permettent de décrire la structure, de compter ses éléments et de contrôler ces nombres avec la relation d'Euler.

Considérons un cube. Les données sont ses 6 faces carrées et ses 8 sommets. Nous cherchons son nombre A d'arêtes.

1. Chaque face a 4 côtés, donc le comptage face par face donne 6 × 4 = 24 occurrences de côtés.

2. Chaque arête du cube borde exactement 2 faces. Les 24 occurrences comptent donc chaque arête deux fois : A = 24 ÷ 2 = 12.

3. Le cube possède donc 12 arêtes. Pour contrôler le résultat, notons S = 8 sommets et F = 6 faces. Le cube est convexe, alors la relation de Descartes-Euler donne $S+F=A+2S+F=A+2$. Ici, 8 + 6 = 12 + 2 : les deux membres valent 14.

En géométrie dans l'espace, on repère les arêtes pour décrire un solide et compter ses faces, ses sommets et ses arêtes. Si le solide est un polyèdre convexe, la relation de Descartes-Euler offre ensuite un contrôle du comptage.

En dessin technique, l'arête aide à lire où deux surfaces d'une pièce se rencontrent. Avant de la tracer comme une ligne droite, il faut observer la nature des surfaces : l'arête d'un polyèdre est rectiligne, celle d'un cône est circulaire.

En génie mécanique et en architecture, nommer une arête permet de désigner précisément la jonction de deux surfaces. Le bon réflexe reste le même : identifier les deux faces concernées et leur ligne commune.

Une arête n'est pas une face. La face est une surface du solide ; l'arête est la ligne où deux faces adjacentes se rencontrent. Sur un cube, un carré entier est une face, tandis que l'un de ses côtés est une arête.

Une arête n'est pas un sommet. Dans un polyèdre, l'arête est un segment ; ses extrémités sont des sommets. Sur le cube, suivre une ligne entre deux coins revient à parcourir une arête, pas un sommet.

Une ligne dessinée sur une face n'est pas automatiquement une arête. Le critère décisif est la rencontre de deux faces du solide. Une diagonale tracée au milieu d'une face carrée reste dans cette seule face et ne constitue donc pas une arête du cube.

Arête courbe. Assimiler toute arête à un segment exclurait à tort certains solides non polyédriques. Sur un cône, la base plane et la surface latérale courbe se rencontrent suivant une arête circulaire. Il faut examiner les surfaces avant de choisir entre segment et courbe.

Double comptage. Additionner les côtés de toutes les faces d'un cube donne 24, pas son nombre d'arêtes. Chaque arête appartenant à deux faces, elle apparaît deux fois dans ce total. Il faut donc diviser 24 par 2 pour retrouver 12 arêtes distinctes.

Domaine de la formule. La relation S + F = A + 2 est le cas convexe, c'est-à-dire n = 0, de la relation donnée dans la source. La formule avec −2n suppose une surface polyédrique connexe, fermée et orientable ; n en compte les anses. Pour une surface non fermée ou plusieurs composantes séparées, il faut employer la caractéristique d'Euler adaptée plutôt que cette égalité.

Trait visible. Une ligne intérieure tracée sur une face peut ressembler à une arête sans en être une. Si elle ne marque pas l'intersection de deux faces, elle ne doit pas entrer dans le comptage des arêtes.

Le glossaire polyèdre replace l'arête parmi les faces planes et les sommets de cette famille de solides.

La fiche cône prolonge le cas de l'arête circulaire formée par la rencontre de la base et de la surface latérale.