diagramme de Schlegel

Prenez le squelette en fil de fer d'un cube et imaginez que vous projetiez ses sommets et ses arêtes sur le plan d'une face, depuis un point situé juste au-delà de cette face. Celle-ci forme un grand carré ; la face opposée devient un petit carré placé à l'intérieur. Quatre segments relient alors leurs sommets correspondants, sans se croiser.

Ce dessin est un diagramme de Schlegel. Il abandonne le volume et les longueurs réelles, mais garde l'information essentielle pour le combinatoricien : quels sommets sont reliés par une arête.

Un diagramme de Schlegel représente dans le plan le squelette d'un polyèdre convexe, c'est-à-dire l'ensemble de ses sommets et de ses arêtes. On choisit une face du polyèdre comme cadre de la projection. Les sommets qui n'appartiennent pas à cette face sont projetés à l'intérieur de son contour, tandis que chaque arête conserve les deux sommets qu'elle reliait.

Le résultat est un graphe planaire : les sommets deviennent des nœuds et les arêtes deviennent des segments ou des courbes qui ne se croisent pas en dehors des nœuds. Ce sont les relations d'adjacence qui sont préservées, non les longueurs, les angles ni les aires. Le diagramme convient donc à l'étude combinatoire du polyèdre plutôt qu'à sa mesure métrique.

Cette représentation porte le nom du géomètre allemand Victor Schlegel (1843-1905), qui l'introduisit à la fin du XIXe siècle. Le choix de la face extérieure peut modifier l'allure du dessin, mais il ne change pas les incidences entre sommets et arêtes du polyèdre représenté.

On rencontre un diagramme de Schlegel dans un livre, un exercice ou un logiciel consacré aux polyèdres et aux graphes. Plusieurs indices permettent de le reconnaître : un polygone extérieur joue le rôle d'une face choisie ; tous les autres nœuds sont placés à l'intérieur ; les arêtes ne se croisent pas ; le dessin forme un réseau fermé plutôt qu'une vue ombrée du solide.

Ce support porte une information d'incidence. Il indique quelles paires de sommets sont voisines, quelles arêtes bordent les régions du dessin et comment le squelette du polyèdre s'organise, sans prétendre restituer ses dimensions.

La lecture porte d'abord sur les adjacences, et non sur les distances apparentes. 1. Repérez le polygone extérieur : par convention, il représente la face choisie pour la projection. 2. Comptez tous les nœuds, sur ce contour puis à l'intérieur. 3. Suivez chaque arête d'un nœud à l'autre et relevez les voisins de chaque nœud. 4. Comptez les régions délimitées, sans oublier la région extérieure du graphe planaire.

L'œil peut prendre un petit polygone intérieur pour une petite face du solide. Cette conclusion est injustifiée : la projection déforme les tailles. Le bon réflexe consiste à lire les connexions et les contours fermés, puis à contrôler les nombres de sommets, d'arêtes et de faces.

Construisons et contrôlons le diagramme de Schlegel d'un cube en prenant une face carrée comme face de projection.

Données.
Le cube possède 8 sommets.
Il possède 12 arêtes.
La face choisie et la face opposée sont deux carrés.
Quatre arêtes relient leurs sommets correspondants.

Étape 1. Traçons la face choisie comme un grand carré extérieur. Ses quatre sommets et ses quatre côtés sont conservés.

Étape 2. Plaçons les quatre sommets de la face opposée sur un petit carré intérieur, puis traçons ses quatre côtés. Relions enfin chaque sommet extérieur au sommet intérieur correspondant. Aucun des douze traits ne se croise hors d'un sommet.

Étape 3. Le dessin délimite cinq régions bornées : le carré central et quatre régions autour de lui. En ajoutant la région extérieure, on retrouve les 6 faces du cube.

Contrôle. Avec 8 sommets, 12 arêtes et 6 faces, la relation d'Euler donne $8-12+6=28-12+6=2$. Le diagramme conserve donc l'inventaire combinatoire du cube.

Pour inventorier les voisins d'un sommet, suivez les arêtes qui en partent sur le diagramme. Une vue en perspective convient mieux pour percevoir le volume, mais le diagramme de Schlegel évite que des arêtes visibles se croisent artificiellement.

Pour vérifier un modèle de polyèdre, comptez les nœuds, les arêtes et toutes les régions, y compris l'extérieure. Ce relevé se contrôle avec la relation d'Euler lorsque le polyèdre est convexe.

Pour comparer deux polyèdres, utilisez leurs diagrammes lorsque la question porte sur les incidences. Si la comparaison porte sur des angles, des longueurs ou des aires, revenez plutôt à une description géométrique du solide, car la projection ne conserve pas ces grandeurs.

Un patron de polyèdre. Un patron découpe certaines arêtes et déplie toutes les faces pour permettre un remontage. Un diagramme de Schlegel ne déplie pas la surface : il projette le squelette et conserve toutes les adjacences entre sommets. Pour trancher, cherchez des arêtes coupées dans le patron ; il n'en manque aucune dans le diagramme.

Une vue en perspective. Une perspective suggère la profondeur, peut masquer des arêtes ou les faire se croiser sur le papier. Le diagramme de Schlegel privilégie au contraire un tracé planaire sans croisement d'arêtes. Le cube en perspective ressemble à deux carrés décalés ; son diagramme place l'un des carrés à l'intérieur de l'autre.

Un graphe planaire quelconque. Tout diagramme de Schlegel est un graphe planaire, mais un graphe planaire isolé n'est pas automatiquement présenté comme la projection du squelette d'un polyèdre convexe. Le critère distinctif est ici l'origine polyédrique de la représentation.

Sortir du cadre convexe. La construction décrite porte sur un polyèdre convexe. Pour un solide non convexe, projeter son squelette sur une face ne garantit pas que tous les autres sommets se placent à l'intérieur ni que les arêtes évitent les croisements. Il faut alors préciser une autre représentation au lieu d'étendre automatiquement le nom.

Lire des mesures dans le dessin. Deux arêtes égales du solide peuvent apparaître avec des longueurs différentes, et des angles peuvent être fortement déformés. Le symptôme est une conclusion métrique tirée à la règle ou au rapporteur ; il faut revenir aux données du polyèdre.

Oublier la face extérieure. Dans le diagramme du cube, cinq régions seulement sont enfermées par des traits, alors que le cube a six faces. La sixième correspond à la région extérieure du graphe. Pour tout comptage des faces, il faut inclure cette région non bornée.

Prendre le cadre pour une face privilégiée. Une autre face peut être choisie pour la projection. L'allure et les tailles apparentes changent, mais pas les 8 sommets, les 12 arêtes ni les adjacences du cube ; il faut comparer la structure, pas la position des nœuds.

La fiche graphe planaire approfondit la propriété de tracé sans croisement qui rend lisible le squelette projeté.

L'entrée polyèdre convexe précise le domaine géométrique dans lequel la construction du diagramme est décrite.

La fiche formule d'Euler développe le contrôle reliant sommets, arêtes et faces, appliqué ici au cube.