polyèdre de Stewart

Imaginez un solide construit avec des pièces polygonales régulières, mais dont la forme laisse passer un doigt par un tunnel. Les intérieurs de ses faces ne se chevauchent pas ; deux faces peuvent toutefois partager une arête, et deux faces qui se touchent par un côté ne restent pas dans le même plan.

Un polyèdre de Stewart est donc un toroïde, c'est-à-dire un polyèdre dont la surface présente au moins un tunnel, qui respecte ces règles de construction. Il est quasi-convexe lorsque les arêtes de son enveloppe convexe sont déjà des arêtes du polyèdre : l'enveloppe convexe n'en ajoute alors aucune nouvelle.

Un polyèdre de Stewart est un toroïde dont les faces sont des polygones réguliers. Toroïde signifie ici polyèdre dont la surface présente au moins un tunnel traversant, et non simple surface courbe.

La définition impose plusieurs conditions simultanées. Les intérieurs des faces sont disjoints ; deux faces distinctes ne peuvent se rencontrer que selon une arête, un sommet ou une partie de bord qu'elles partagent déjà. Deux faces qui partagent une arête ne sont pas coplanaires, donc elles forment un angle plutôt que de prolonger une même portion de plan. Le toroïde est aussi quasi-convexe : son enveloppe convexe ne fait apparaître aucune nouvelle arête. Enfin, il possède au moins un tunnel.

La construction peut assembler des polyèdres réguliers ou semi-réguliers, mais l'assemblage n'est pas à lui seul la définition. Les conditions sur les faces, les arêtes et l'enveloppe convexe doivent toutes être vérifiées.

La structure se lit à partir de cinq éléments. Les faces sont les polygones réguliers qui constituent la peau du solide. Les arêtes sont leurs côtés communs et organisent l'assemblage. Les sommets relient plusieurs arêtes. Le tunnel est le passage qui donne au polyèdre sa topologie de toroïde. L'enveloppe convexe est le solide convexe extérieur utilisé pour tester la quasi-convexité.

La régularité des faces dépend de chacun de leurs côtés et angles, tandis que la non-coplanarité dépend de la manière dont deux faces voisines se raccordent. Le tunnel dépend donc de la disposition globale des faces, et non d'une seule face. L'enveloppe convexe dépend elle aussi de tous les sommets : il faut examiner ses arêtes et vérifier qu'elles appartiennent déjà aux arêtes du polyèdre pour établir qu'aucune arête nouvelle n'apparaît. La couleur, l'orientation du modèle ou son échelle ne définissent pas la famille.

Prenons l'illustration associée au schéma. Le dessin reste qualitatif, sans mesure ni échelle, et aucun dossier géométrique détaillé du modèle n'est fourni. Il permet seulement de repérer une ouverture représentée comme un tunnel et de rappeler les cinq informations qu'il faudrait réunir pour un contrôle complet : la régularité de chaque face ; la disjonction des intérieurs et les rencontres autorisées ; la non-coplanarité des faces partageant une arête ; enfin, l'absence d'arête nouvelle dans l'enveloppe convexe.

Pour appliquer réellement le contrôle à un modèle, il faudrait disposer de données identifiables : la liste ou la description des faces pour tester leur régularité, les paires de faces et leurs intersections pour tester les raccords, puis la liste des arêtes de l'enveloppe convexe à comparer avec celles du polyèdre. Ces données ne figurent pas dans cette illustration ; le schéma ne permet donc pas de conclure aux cinq propriétés.

Le schéma fournit uniquement un indice visuel de départ. Il sert à comprendre la différence entre une ouverture et une face, mais cette illustration ne constitue pas un exemple vérifiable et ne permet pas de conclure que le modèle satisfait la définition.

Un verdict exige l'ensemble des contrôles : un tunnel visible, même associé à des faces qui semblent régulières, ne suffit pas à lui seul.

Pour étudier un modèle, commencez par repérer visuellement le ou les passages qui le traversent : cette observation fournit un indice initial, mais ne constitue pas une preuve topologique. Vérifiez ensuite la présence effective d'au moins un tunnel. Si aucun tunnel n'existe, il faut employer la notion de polyèdre correspondant au modèle, et non celle de toroïde de Stewart.

Examinez ensuite les faces une à une : chacune doit être un polygone régulier. Une construction composée de faces quelconques relève d'une description plus générale des polyèdres à trous.

Enfin, appliquez les deux derniers contrôles seulement lorsqu'un modèle est accompagné de données géométriques identifiables. Pour les raccords, vérifiez d'abord que les intérieurs des faces restent disjoints et que chaque rencontre entre faces se limite à une arête, un sommet ou une partie de bord déjà commune ; pour chaque arête partagée, vérifiez ensuite que les deux faces ne sont pas dans un même plan. Pour la quasi-convexité, comparez une à une les arêtes de l'enveloppe convexe à celles du polyèdre. L'illustration de l'exemple guidé ne fournit ni ces listes ni ces mesures : elle ne permet donc pas d'effectuer ces contrôles ni d'annoncer leur réussite. Un modèle qui échoue à l'un des cinq contrôles est exclu.

Un polyèdre à trou n'est pas automatiquement un polyèdre de Stewart. Le critère qui les sépare est l'ensemble des contraintes supplémentaires : faces régulières, faces non sécantes, faces voisines non coplanaires et quasi-convexité. Un modèle à trou qui échoue à l'un de ces tests reste un toroïde, mais pas un toroïde de Stewart au sens de cette définition.

Un assemblage de polyèdres réguliers ou semi-réguliers ne suffit pas non plus. Le cas qui tranche est celui où l'assemblage possède bien des faces régulières, mais où l'enveloppe convexe fait apparaître une arête nouvelle : la condition de quasi-convexité manque.

Le nombre minimal de tunnels exigé par la définition est un : un solide sans tunnel est exclu, tandis que plusieurs tunnels restent compatibles avec cette condition minimale. Il faut alors vérifier séparément les autres propriétés.

Le piège principal est de conclure à partir de l'apparence. Une silhouette qui semble laisser un passage ne prouve ni la régularité des faces ni la quasi-convexité. Il faut inspecter les faces, les arêtes voisines et l'enveloppe convexe.

La non-coplanarité concerne deux faces qui partagent une arête. Elle ne signifie pas que toutes les faces du polyèdre doivent appartenir à des plans deux à deux distincts. Cette lecture plus forte ajouterait une condition absente de la définition.

Pour prolonger l'étude, on peut comparer plusieurs toroïdes construits à partir de polyèdres réguliers ou semi-réguliers. Cette comparaison oblige à distinguer la forme des faces, la façon de les assembler et la présence effective d'un tunnel, au lieu de classer les modèles d'après leur seule silhouette.