solide de Poinsot

Imaginez un polyèdre dont les pointes s'entrecroisent au lieu de former une enveloppe bombée. Certaines faces peuvent elles-mêmes avoir la forme d'un polygone étoilé. Les arêtes passent alors les unes à travers les autres dans la représentation du solide.

La régularité ne disparaît pas pour autant : autour de chaque sommet, on retrouve le même nombre de faces. Il n'existe que quatre solides de ce type, réunis sous le nom de solides de Kepler-Poinsot.

Un solide de Kepler-Poinsot est un polyèdre régulier étoilé. Ses faces sont des polygones réguliers, convexes ou étoilés, et ses arêtes peuvent se croiser. Sa régularité impose notamment le même nombre de faces à chaque sommet. Ces vérifications sont nécessaires mais ne suffisent pas : la configuration complète autour de chaque sommet doit être identique et l'assemblage global des faces et des arêtes doit être cohérent.

La famille est complète et compte exactement quatre membres : le petit dodécaèdre étoilé, le grand dodécaèdre étoilé, le grand dodécaèdre et le grand icosaèdre. Une face n'est donc pas nécessairement étoilée : le caractère étoilé du polyèdre peut aussi apparaître dans la manière dont les faces et les arêtes se croisent.

Johannes Kepler décrivit en 1619 le petit dodécaèdre étoilé et le grand dodécaèdre étoilé, le premier étant parfois surnommé oursin de Kepler. En 1809, Louis Poinsot (1777–1859) redécouvrit l'ensemble des quatre. Augustin-Louis Cauchy prouva en 1812 que la liste était complète, puis Bertrand en proposa une démonstration plus élégante. Arthur Cayley fixa en 1859 l'appellation solides de Kepler-Poinsot encore employée aujourd'hui.

Quatre éléments permettent de lire la structure. Les faces sont des polygones réguliers, convexes ou étoilés. Les arêtes bordent ces faces et peuvent se croiser. Les sommets sont les points où se rencontrent plusieurs arêtes ; dans un solide régulier, la même configuration de faces s'y retrouve partout. Enfin, le nom du membre situe le solide dans la liste complète des quatre.

La forme des faces et leur rencontre aux sommets déterminent ensemble la régularité ; l'apparence étoilée seule ne suffit pas. De même, un croisement visible doit être suivi avec les faces auxquelles appartiennent les arêtes. Le schéma compare les deux sortes de faces admises par la définition, sans représenter un solide particulier.

On examine un modèle annoncé comme un grand dodécaèdre étoilé et l'on effectue un premier contrôle de son appartenance à la famille de Kepler-Poinsot.

Données :
le nom proposé est grand dodécaèdre étoilé ;
les faces observées sont des polygones réguliers ;
des arêtes se croisent ;
le même nombre de faces se rencontre à chaque sommet.

1. Le nom figure dans la liste des quatre solides donnée par la classification. Le modèle n'est donc pas écarté dès la première vérification.

2. Les faces sont régulières et les croisements d'arêtes donnent le caractère étoilé attendu. Ces deux observations sont nécessaires, mais elles ne suffisent pas encore à établir la régularité de tout le solide.

3. On contrôle les sommets : chacun reçoit le même nombre de faces. Cette égalité n'est encore qu'une condition nécessaire. Les données ne précisent ni la nature ni l'ordre des faces autour de plusieurs sommets ; elles ne permettent donc pas de vérifier que la configuration locale est partout identique. Le protocole de la partie En pratique indique les comparaisons à poursuivre.

L'exercice s'arrête donc à un pré-contrôle : le nom exact et les trois propriétés observées rendent l'identification plausible, sans l'établir. Pour conclure, il faut comparer la nature et l'ordre des faces autour de plusieurs sommets, puis suivre les faces et les arêtes dans tout le modèle ; une configuration locale différente ou un assemblage qui ne se prolonge pas de façon cohérente exclurait la régularité annoncée.

Devant une photographie ou un modèle, suivez d'abord une face entière et repérez si son contour est convexe ou étoilé. Si les pointes sont seulement décoratives et que les faces ne sont pas régulières, la famille de Kepler-Poinsot n'est pas le bon classement.

Pour contrôler la régularité, comptez les faces qui se rencontrent autour de plusieurs sommets. Un nombre variable indique un autre type de polyèdre, même si la silhouette paraît très symétrique. Un nombre constant est seulement une condition nécessaire : comparez aussi la nature et l'ordre des faces autour des sommets, puis suivez la cohérence de leur assemblage dans tout le solide.

Pour choisir entre la famille de Platon et celle de Kepler-Poinsot, observez les croisements. Les solides de Platon constituent la référence convexe ; des faces ou arêtes croisées orientent vers les quatre solides étoilés, sous réserve des conditions de régularité.

Un solide de Platon. Il appartient à la famille des polyèdres réguliers convexes. Un croisement d'arêtes ou une face étoilée tranche en faveur d'un solide de Kepler-Poinsot, tandis que l'absence de tels croisements oriente vers le cas convexe.

Un polygone étoilé. Il s'agit d'une face plane possible, et non du polyèdre entier. Pour reconnaître un solide de Kepler-Poinsot, il faut encore examiner l'assemblage des faces et vérifier la même rencontre autour de chaque sommet.

Face convexe. Une face non étoilée n'exclut pas la famille : la définition autorise aussi les polygones convexes réguliers. Il faut examiner les croisements du polyèdre entier avant de conclure.

Croisements trompeurs. Une projection plane peut rendre la lecture difficile. Un simple croisement visible ne prouve pas la régularité ; il faut suivre les arêtes et vérifier la rencontre des faces à chaque sommet.

Liste fermée. Une cinquième forme étoilée régulière supposée ne constitue pas un nouveau solide de Poinsot. Cauchy a établi en 1812 que la liste des quatre est complète ; une autre forme échoue donc à au moins une condition de la classification.

Attribution historique. Poinsot a redécouvert l'ensemble en 1809, mais Kepler avait déjà décrit deux membres en 1619. Il faut donc réserver l'appellation complète, fixée par Cayley en 1859, à l'histoire collective de la famille.

Le polyèdre régulier précise la propriété commune qui rassemble les solides convexes et étoilés.

Le solide de Platon fournit le cas convexe auquel comparer les croisements des solides de Kepler-Poinsot.

Le dodécaèdre étoilé approfondit les trois membres de la famille dont le nom renvoie au dodécaèdre.

Le grand icosaèdre isole le quatrième membre de la liste complète.