Topologie quotient

Prenons un segment et décidons que ses deux extrémités représentent désormais le même point. Le segment se referme alors comme une boucle : chaque point intérieur reste distinct, tandis que 0 et 1 sont recollés.

La topologie quotient indique quelles zones de cette nouvelle forme sont ouvertes. Pour le vérifier, on revient au segment avant le recollement. Une zone est ouverte sur la boucle exactement lorsque tous ses morceaux d'origine forment un ouvert du segment.

Soit X un espace topologique et soit une relation d'équivalence, notée ∼, définie sur ses points. L'ensemble quotient Q rassemble les classes d'équivalence : deux points de X donnent le même élément de Q précisément lorsqu'ils sont équivalents. La projection canonique q associe à chaque point x de X sa classe, notée q(x).

La topologie quotient sur Q est caractérisée par le critère suivant, où U désigne une partie de Q : $U\subseteq Q\text{ est ouvert}⟺q^{-1}(U)\text{ est ouvert dans }XU\backslash subseteq\; Q\backslash text\{\; est\; ouvert\}\backslash iff\; q^\{-1\}(U)\backslash text\{\; est\; ouvert\; dans\; \}X$. Cette famille est bien une topologie. Elle est la plus fine, c'est-à-dire celle qui contient le plus d'ouverts, parmi les topologies sur Q qui rendent q continue.

Le critère porte sur l’image réciproque entière. Pour toute partie U de Q, l'image réciproque q^{-1}(U) contient avec chaque point toute sa classe d'équivalence ; on dit qu'elle est saturée. En revanche, une partie arbitraire de X n'est pas nécessairement saturée. Cette construction sert notamment à obtenir un cercle en identifiant les extrémités d'un segment, puis des espaces comme le tore ou la sphère à partir de domaines plus simples et d'identifications adaptées.

On part du segment X = [0, 1] avec sa topologie usuelle et l'on identifie seulement ses extrémités.
Données : 0 ∼ 1 ; chaque point strictement compris entre 0 et 1 reste seul dans sa classe ; Q est l'ensemble quotient ; q est la projection canonique.

1. Former les classes : la classe des extrémités est {0, 1}, tandis que la classe d'un point intérieur t est {t}.
2. Représenter Q : le point commun q(0) = q(1) referme le segment, que l'on peut représenter par un cercle.
3. Choisir dans Q un petit arc V qui contient ce point commun.
4. Revenir au segment : l'image réciproque de V est la réunion [0 ; 0,1[ ∪ ]0,9 ; 1].
5. Constater que cette réunion est ouverte dans [0, 1], pour la topologie induite par la droite réelle. Le critère quotient montre donc que V est ouvert dans Q.

Le contrôle consiste à regarder les deux extrémités à la fois : omettre le morceau voisin de 1 ne donnerait pas l'image réciproque d'une zone contenant q(0) = q(1). La figure matérialise le recollement qui transforme les deux extrémités en un seul point.

Pour recoller les bords d'un domaine, on précise d'abord quels points doivent être équivalents. Un segment dont les extrémités sont identifiées produit un espace ayant la topologie d'un cercle ; sans identification, les deux bords restent distincts.

Pour décider si une zone du quotient est ouverte, on calcule son image réciproque par la projection canonique. On préfère ce test à un dessin dès que le recollement masque plusieurs morceaux d'origine sous une seule zone.

Pour définir une application au départ du quotient, on construit souvent d'abord une application sur X qui prend la même valeur sur chaque classe. La propriété universelle du quotient permet alors de la faire descendre à Q ; si cette constance échoue, aucune application sur Q ne peut lui correspondre.

Ensemble quotient et topologie quotient. L'ensemble quotient dit quels points sont regroupés ; la topologie quotient dit quelles parties de cet ensemble sont ouvertes. La relation 0 ∼ 1 construit les classes, puis le test par q règle les ouverts.

Topologie quotient et topologie induite. Une topologie induite se lit sur un sous-ensemble inclus dans un espace plus grand. Une topologie quotient se lit sur des classes obtenues par identification. Le cercle issu de [0, 1] n'est pas un sous-ensemble de ce segment.

Projection canonique et projection géométrique. La projection canonique q envoie un point sur sa classe d'équivalence ; elle ne décrit pas nécessairement une ombre ou une projection orthogonale. Ici, q(0) et q(1) coïncident parce que 0 ∼ 1.

Une partie non saturée ne décrit pas fidèlement sa propre image. Dans l'exemple du segment, [0, 0,1) contient 0 mais pas son équivalent 1. L'image réciproque de son image contient aussi 1. Il faut compléter la partie par toutes les classes rencontrées avant de tester son ouverture.

Le quotient peut perdre des propriétés de séparation. Si une classe d'équivalence n'est pas fermée dans X, le point correspondant n'est pas fermé dans Q. Il ne faut donc pas supposer le quotient séparé ; il faut vérifier les classes et les hypothèses propres au recollement.

« La plus fine » ne signifie pas que toute partie est ouverte. Seules les parties dont l'image réciproque est ouverte dans X sont admises. Ajouter comme ouvert une partie dont l'image réciproque n'est pas ouverte rendrait q non continue ; l'ajout d'une partie dont l'image réciproque est ouverte préserve sa continuité.

Les relations extrêmes donnent des contrôles utiles. Si chaque point n'est équivalent qu'à lui-même, Q retrouve X et sa topologie. Si tous les points sont équivalents, Q n'a qu'un point ; ses seules parties, le vide et Q, sont ouvertes.

relation d'équivalence. Cette fiche détaille la règle qui partitionne l'espace d'origine en classes avant de construire le quotient.