Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Induite (topologie)
La topologie induite (ou topologie trace) sur un sous-ensemble A d'un espace topologique X est la topologie dont les ouverts sont les intersections avec A des ouverts de X. C'est la topologie la plus naturelle sur A, et elle est la moins fine rendant l'injection canonique de A dans X continue. De façon duale, la topologie initiale sur un ensemble par rapport à une famille d'applications est la moins fine rendant toutes ces applications continues. La topologie induite est le cas particulier d'une seule application (l'inclusion).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Déterminer un ouvert induit comme intersection avec un ouvert ambiant.
- Comprendre pourquoi [0 ; 0,5[ est ouvert dans [0 ; 1] mais pas dans la droite réelle.
- Relier la topologie induite à la continuité de l’inclusion et à la topologie initiale.
- Éviter de confondre ouvert relatif et ouvert ambiant.
En clair
Prenons le segment A formé des nombres de 0 à 1, posé dans la droite réelle. Autour de 0, on peut découper dans A la portion allant de 0 à 0,5, sans prendre 0,5. Cette portion paraît fermée à gauche dans la droite, mais elle est ouverte lorsqu’on ne regarde que A.
La topologie induite décrit précisément ces voisinages vus depuis le sous-ensemble. Elle conserve seulement la trace que les ouverts de l’espace ambiant laissent sur A.
Définition
Soit X un espace muni d’une topologie, notée τX, et soit A un sous-ensemble de X. La topologie induite sur A, aussi appelée topologie trace, est la famille τA de toutes les intersections de A avec un ouvert de X : . Un sous-ensemble V de A est donc ouvert dans A si, et seulement si, il existe un ouvert U de X tel que V = A ∩ U.
Cette famille contient A et l’ensemble vide, et elle est stable par unions quelconques et intersections finies. Elle définit ainsi une topologie sur A. L’application qui envoie chaque point de A sur le même point de X est l’inclusion canonique, notée i. Pour tout ouvert U de X, son image réciproque par i est A ∩ U. La topologie induite est donc la moins fine des topologies sur A qui rendent i continue.
Plus généralement, une topologie initiale est construite sur un ensemble à partir d’une famille d’applications : c’est la moins fine qui les rend toutes continues. La topologie induite est exactement ce procédé appliqué à la seule inclusion de A dans X.
Un exemple, pas à pas
Dans la droite réelle X munie de sa topologie usuelle, on considère le sous-ensemble A = [0 ; 1]. On choisit l’intervalle ouvert ambiant U = ]−0,5 ; 0,5[. Les données sont donc l’espace X, le sous-ensemble A et l’ouvert U.
1. On garde les points qui appartiennent à la fois à A et à U.
2. Le point 0 appartient aux deux ensembles, tandis que 0,5 n’appartient pas à U.
3. L’intersection obtenue est A ∩ U = [0 ; 0,5[.
2. Le point 0 appartient aux deux ensembles, tandis que 0,5 n’appartient pas à U.
3. L’intersection obtenue est A ∩ U = [0 ; 0,5[.
Ainsi, [0 ; 0,5[ est un ouvert de A pour la topologie induite. Il n’est pourtant pas ouvert dans la droite réelle, car aucun intervalle ouvert centré en 0 n’y reste contenu. La construction met en regard l’ouvert ambiant, le sous-ensemble et leur trace.
Le contrôle se refait directement : en intersectant ]−0,5 ; 0,5[ avec [0 ; 1], on conserve exactement les nombres compris entre 0 inclus et 0,5 exclu.
En pratique
Pour étudier une courbe, une surface ou un segment comme un espace en soi, on part souvent de sa place dans un espace déjà topologisé. La topologie induite est adaptée lorsque les voisinages doivent rester ceux hérités de l’espace ambiant ; une autre topologie convient si l’on veut imposer une proximité différente.
Pour reconnaître un ouvert relatif V de A, on cherche un ouvert U de X dont la trace vérifie V = A ∩ U. Cette méthode est préférable à l’examen de V comme partie de X dès qu’un point situé au bord de A, comme 0 dans [0 ; 1], est présent.
Pour étudier la continuité d’une application définie sur un sous-espace, on utilise les ouverts induits sur son domaine. Si le domaine porte une topologie choisie indépendamment de l’inclusion, il faut au contraire travailler avec cette topologie déclarée.
À ne pas confondre
Topologie induite et topologie initiale. La première part d’un sous-ensemble A déjà inclus dans un espace X. La seconde part, en général, d’un ensemble et d’une famille d’applications vers des espaces topologiques. Le critère est donc le nombre et la nature des applications données : pour la seule inclusion de A dans X, les deux constructions coïncident.
Ouvert relatif et ouvert ambiant. Un ouvert relatif est une partie de A obtenue en coupant A par un ouvert de X ; un ouvert ambiant appartient directement à la topologie de X. Dans l’exemple A = [0 ; 1], l’ensemble [0 ; 0,5[ est ouvert relativement à A, mais pas dans la droite réelle.
Limites et pièges
L’espace ambiant compte. Écrire seulement qu’une partie est « ouverte dans A » ne suffit pas si la topologie de A n’est pas précisée. Le symptôme est qu’on ne sait pas dans quel espace chercher U. Il faut nommer X et sa topologie, puis vérifier la forme A ∩ U.
Un bord ambiant peut devenir intérieur relatif. Le point 0 est au bord de [0 ; 1] dans la droite, mais il appartient à l’ouvert relatif [0 ; 0,5[. Refuser 0 au seul motif qu’il est une extrémité revient à tester l’ouverture dans X au lieu de la tester dans A.
Les cas extrêmes restent cohérents. Si A est vide, sa topologie induite contient seulement l’ensemble vide. Si A = X, la topologie induite est la topologie de X elle-même. Dans ces deux cas, on applique encore l’intersection A ∩ U, sans ajouter de règle spéciale.
Pour aller plus loin
Initiale (topologie) généralise la construction à une famille d’applications et éclaire la propriété de minimalité utilisée pour l’inclusion.
ouvert - topologie - approfondit l’objet dont on prend la trace sur le sous-ensemble et aide à vérifier les ouverts relatifs.
Topologie produit présente une autre construction de topologie, utile pour situer la topologie induite parmi les procédés fondamentaux.
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