Ouvert relatif

Imaginez la droite réelle, puis ne gardez que le segment A = [0, 1]. Dans ce segment, [0, 1) se comporte comme un ouvert : autour de chacun de ses points, on peut rester dans A sans atteindre le point 1. Pourtant, [0, 1) n'est pas ouvert dans toute la droite, car 0 y est un bord.

Le mot relatif rappelle donc le cadre choisi. On observe seulement les points de A, comme si l'espace extérieur avait été masqué.

Soit un espace topologique X, muni d'une famille d'ouverts notée τ, et soit A un sous-ensemble de X. Un sous-ensemble V de A est ouvert relativement à A s'il existe un ouvert U de X tel que $V=A\cap UV=A\backslash cap\; U$. L'ensemble X est l'espace ambiant ; A, muni de ses ouverts relatifs, est un sous-espace topologique.

La famille de tous ces ouverts est la topologie induite sur A, aussi appelée topologie trace. En notant cette famille τ_A, sa définition complète est : Elle contient A et l'ensemble vide, reste stable par unions quelconques et par intersections finies. Elle définit donc bien une topologie sur A.

Si A est lui-même ouvert dans X, tout ouvert relatif de A est aussi ouvert dans X. Sans cette hypothèse, ce n'est pas garanti : la qualification « relatif à A » ne peut pas être supprimée.

Dans la droite réelle munie de sa topologie habituelle, on veut tester l'ensemble V = [0, 1) à l'intérieur du sous-espace A = [0, 1].
Données : l'espace ambiant est la droite réelle ; A = [0, 1] ; V = [0, 1) ; l'ouvert ambiant candidat est U = (−1, 1).

1. Vérifier le cadre : V est bien un sous-ensemble de A.
2. Vérifier U : l'intervalle (−1, 1) est ouvert dans la droite réelle.
3. Former l'intersection : $A\cap U=[0,1]\cap (-1,1)=[0,1)A\backslash cap\; U=[0,1]\backslash cap(-1,1)=[0,1)$.
4. Comparer avec V : l'intersection obtenue est exactement V.

Ainsi, V est ouvert relativement à A. Le contrôle se refait en examinant ses deux bornes : 1 est exclu, tandis que 0 peut appartenir à V, car aucun point de A n'est situé à gauche de 0. Dans l'espace ambiant, en revanche, tout intervalle ouvert autour de 0 contient des nombres négatifs absents de V ; V n'y est donc pas ouvert. La figure rend visible cette différence de cadre.

Sur un intervalle servant de domaine d'étude, on teste l'ouverture avec les points qui appartiennent réellement à cet intervalle. À une extrémité incluse, un intervalle comme [0, ε) peut ainsi être ouvert relativement à [0, 1], pour tout nombre ε compris strictement entre 0 et 1.

Sur une courbe ou une surface plongée dans un espace plus grand, on remplace les ouverts ambiants par leur trace sur l'objet. Ce cadre est préférable dès que seuls les déplacements restant sur l'objet comptent.

Pour étudier la continuité d'une fonction définie seulement sur A, on utilise la topologie induite sur A. Employer directement les ouverts de l'espace ambiant imposerait à tort que le domaine possède des points situés hors de A.

Ouvert relatif et ouvert de l'espace ambiant. Le premier est testé dans A, le second dans X. Le cas V = [0, 1) tranche : V est ouvert dans A = [0, 1], mais pas dans la droite réelle.

Ouvert relatif et fermé relatif. Un ouvert relatif est la trace d'un ouvert ambiant ; un fermé relatif est la trace d'un fermé ambiant. Dans A = [0, 1], l'ensemble [0, 1/2) est ouvert relatif mais n'est pas fermé relatif.

Ouvert relatif et voisinage. Un ouvert relatif est lui-même ouvert dans A. Un voisinage d'un point peut ne pas être ouvert : dans la droite réelle, [0, 1] est un voisinage de 1/2, car il contient un intervalle ouvert autour de ce point.

Le sous-espace doit toujours être nommé. Dire seulement « V est ouvert » devient ambigu lorsque plusieurs espaces sont possibles. Il faut préciser « ouvert dans A » ou « ouvert dans X », puis appliquer le test d'intersection dans ce cadre.

Le même ensemble change de statut avec l'espace de référence. L'ensemble [0, 1) est ouvert dans A = [0, 1] et dans B = [0, 2], puisque [0, 1) = B ∩ (−1, 1), mais il ne l'est pas dans la droite réelle. Le symptôme est une affirmation d'ouverture sans espace de référence ; il faut réexaminer les traces des ouverts ambiants.

Ouvert et fermé ne s'excluent pas. Le sous-espace A est toujours ouvert relativement à lui-même, puisque A = A ∩ X. Il est aussi fermé relativement à lui-même. Il faut tester séparément les deux propriétés au lieu de déduire l'une de la négation de l'autre.

L'ouvert ambiant n'est pas unique. Dans l'exemple, [0, 1) est la trace sur A de (−1, 1), mais aussi de (−2, 1). Chercher un unique ouvert U mène à une fausse difficulté ; il suffit d'en exhiber un.

La fiche Induite (topologie) replace la construction des ouverts relatifs dans le langage général des topologies obtenues sur un sous-ensemble.

La notion de fermé relatif donne la construction complémentaire et aide à reconnaître les sous-ensembles à la fois ouverts et fermés.

La fiche Voisinage montre comment exprimer localement, autour d'un point, la structure portée par les ouverts.