Voisinage

Sur une droite, plaçons le point 2 et entourons-le par l'intervalle ouvert allant de 1,5 à 2,5. Tout ensemble qui contient cette petite zone est un voisinage de 2. Ainsi, l'intervalle fermé [1, 3] convient : il n'est pas lui-même ouvert, mais il laisse bien une marge autour de 2.

L'idée essentielle est donc celle d'un « autour », pas celle d'une distance imposée. La topologie décide quelles zones sont ouvertes et, par conséquent, quels ensembles entourent chaque point.

Soit un espace topologique, c'est-à-dire un ensemble muni d'une famille d'ouverts, et soit x un point de cet espace. Un ensemble V est un voisinage de x s'il existe un ouvert U qui vérifie $x\in U\subseteq Vx\backslash in\; U\backslash subseteq\; V$. Le voisinage V contient donc x ainsi qu'une zone ouverte autour de x. Il peut être ouvert, mais ce n'est pas obligatoire avec cette définition.

Dans un espace métrique, une distance d est disponible. Pour un rayon r strictement positif, la boule ouverte de centre x et de rayon r rassemble les points y tels que . Toute boule ouverte ainsi centrée en x est un voisinage de x. Réciproquement, tout voisinage de x contient au moins une telle boule. Sur la droite réelle, ces boules sont des intervalles ouverts centrés en x.

Cette formulation ne dépend toutefois pas de l'existence d'une distance. Elle fournit le langage local utilisé pour exprimer la continuité, les limites et la convergence dans un espace topologique.

Dans la droite réelle munie de sa distance habituelle, on veut déterminer si V = [1, 3] est un voisinage du point x = 2.
Données : le point x vaut 2 ; l'ensemble testé est V = [1, 3] ; l'intervalle ouvert candidat est U = (1,5 ; 2,5).

1. Vérifier que 2 appartient à U : 1,5 < 2 < 2,5.
2. Vérifier que U est ouvert dans la droite réelle.
3. Comparer les bornes : tout nombre strictement compris entre 1,5 et 2,5 appartient aussi à [1, 3]. Donc U est inclus dans V.
4. Conclure : V est un voisinage de 2, même si V est fermé.

Le contrôle est refaisable avec la boule ouverte de centre 2 et de rayon 0,5 : sur la droite, cette boule est exactement (1,5 ; 2,5), et elle reste entièrement dans V. La figure matérialise cette marge autour du point 2.

Pour étudier une limite en un point, on examine ce qui se passe dans des voisinages de plus en plus fins de ce point. Si le point lui-même doit être exclu, on emploie explicitement un voisinage épointé.

Pour formuler la continuité, les voisinages décrivent le comportement local d'une application. Dans un espace métrique, les boules ouvertes sont souvent le choix le plus maniable ; dans un espace sans distance donnée, on travaille directement avec les ouverts.

Pour suivre la convergence d'une suite, on demande qu'à partir d'un certain rang ses termes appartiennent à chaque voisinage du point visé. Le critère est topologique : mesurer une distance n'est nécessaire que si l'espace en fournit une.

Voisinage et ouvert. Un ouvert contenant x est toujours un voisinage de x. En revanche, [1, 3] est un voisinage de 2 dans la droite réelle sans être ouvert : il suffit qu'il contienne l'ouvert (1,5 ; 2,5).

Voisinage et boule ouverte. Une boule ouverte centrée en x est un voisinage de x dans un espace métrique, mais un voisinage peut avoir une autre forme. Le test décisif est la présence d'une boule centrée en x à l'intérieur de l'ensemble.

Voisinage et voisinage épointé. Un voisinage de x contient nécessairement x. Un voisinage épointé retire ce point ; par exemple, (1,5 ; 2,5) privé de 2 sert à étudier une limite autour de 2 sans regarder la valeur en 2.

Convention à contrôler. Certains ouvrages réservent le mot « voisinage » aux ouverts contenant le point. Avec la convention de cette fiche, un voisinage peut ne pas être ouvert. Il faut donc lire la définition adoptée avant d'utiliser une propriété.

Contenir seulement le point ne suffit pas. Dans la droite réelle, l'ensemble {2} contient 2, mais aucun intervalle ouvert autour de 2. Il n'est donc pas un voisinage de 2.

Une intersection infinie peut perdre toute marge. Chaque intervalle ouvert allant de −1/n à 1/n, où n est un entier positif, est un voisinage de 0. Leur intersection pour tous les entiers positifs est {0}, qui n'est pas un voisinage de 0 dans la droite réelle. Une intersection finie de voisinages, elle, reste un voisinage.

Le cadre topologique compte. Un même sous-ensemble peut être voisinage ou non selon les ouverts choisis sur l'espace. Il faut préciser l'espace et sa topologie ; une distance ne doit pas être supposée lorsqu'elle n'est pas donnée.

Ouvert relatif. Cette notion précise comment les ouverts, donc les voisinages, se lisent lorsqu'on travaille à l'intérieur d'un sous-espace.

Topologie quotient. Ce prolongement montre comment une nouvelle topologie détermine les voisinages après identification de certains points.