Épointé

Imaginez les nombres très proches de 1 sur une droite, puis retirez exactement le nombre 1. Il reste des points de part et d’autre, aussi proches de 1 qu’on le souhaite, mais jamais le centre lui-même. Cet entourage troué est un voisinage épointé de 1. Le trou permet d’observer le comportement d’une fonction autour de 1, même si sa valeur en 1 manque ou ne ressemble pas aux valeurs voisines.

Soit un point nommé a et un voisinage V de ce point. Le voisinage épointé associé est l’ensemble obtenu en retirant a de V : $V\setminus \{a\}V\; \backslash setminus\; \backslash \{a\backslash \}$. Sur la droite réelle, si le nombre positif r désigne un rayon, l’intervalle ouvert de centre a et de rayon r devient $(a-r,a+r)\setminus \{a\}(a-r,a+r)\; \backslash setminus\; \backslash \{a\backslash \}$. La condition correspondante sur un nombre réel x s’écrit .

Cette exclusion intervient dans la définition d’une limite. Pour une fonction réelle f, un nombre L est la limite de f au point a si, pour toute précision positive nommée epsilon, il existe un rayon positif nommé delta tel que, pour tout x du domaine de f, la condition suivante soit satisfaite :La valeur de f au centre n’intervient donc pas. En revanche, pour que cette formulation caractérise une limite unique, le point a doit pouvoir être approché par d’autres points du domaine de la fonction. Dans un espace topologique général, la même idée utilise les voisinages de a, sans faire appel à une distance.

Considérons la fonction f donnée par le quotient $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}f(x)=\backslash frac\{x^2-1\}\{x-1\}$. Elle n’est pas définie au point 1, car son dénominateur y est nul. Nous cherchons pourtant son comportement près de 1.

Données. Le centre est 1, la valeur visée est 2 et la précision choisie vaut 0,1. Le rayon du voisinage épointé est également fixé à 0,1.

1. Pour tout nombre x différent de 1, le numérateur se factorise et le quotient vaut exactement x + 1.
2. Si , alors .
3. Le graphique associé montre la droite d’équation y = x + 1 avec un cercle vide au point de coordonnées (1 ; 2), ainsi que la portion contrôlée par le voisinage épointé.

La distance entre f(x) et 2 est donc inférieure à 0,1 dès que x reste à moins de 0,1 de 1 sans lui être égal. Le contrôle se refait directement : pour x = 1,05, la valeur est 2,05 et l’écart à 2 vaut 0,05. L’absence de valeur en 1 n’empêche pas la limite d’être 2.

Pour chercher une limite en un point, on examine les valeurs de la fonction dans un voisinage épointé. Ce choix s’impose lorsque la fonction n’est pas définie au centre, comme pour le quotient de l’exemple en 1.

Pour tester la continuité, le voisinage épointé ne suffit pas. Il faut aussi vérifier que la fonction est définie au centre, que la limite existe et que la valeur au centre coïncide avec cette limite. Si la fonction n’est pas définie au centre, ou si sa valeur diffère de la limite, il peut y avoir une limite sans continuité. Mais si la limite n’existe pas, il n’y a ni limite ni continuité.

Lorsque le domaine n’existe que d’un côté du point, on remplace l’entourage des deux côtés par un voisinage épointé relatif au domaine. Le côté réellement accessible détermine alors une limite à gauche ou une limite à droite.

Voisinage et voisinage épointé. Un voisinage de a contient le point a, tandis que sa version épointée le retire. L’intervalle ouvert ]0,9 ; 1,1[ contient 1 ; l’ensemble ]0,9 ; 1[ ∪ ]1 ; 1,1[ ne le contient pas.

Limite et continuité en un point. Une limite décrit les valeurs autour du point et ignore la valeur au centre. La continuité exige en plus une valeur au centre égale à cette limite. Le quotient de l’exemple a une limite égale à 2 en 1, mais il n’y est pas continu puisqu’il n’y est pas défini.

Point isolé. Si le domaine ne contient aucun autre point assez proche de a, un voisinage épointé relatif au domaine peut être vide. La condition de limite devient alors vraie sans contrôler aucune valeur. Pour obtenir l’unicité usuelle, il faut supposer que a est un point d’accumulation du domaine.

Domaine tronqué. À une extrémité du domaine, les points peuvent n’approcher a que par un seul côté. Il ne faut pas exiger artificiellement des valeurs absentes : le voisinage se prend relativement au domaine, puis le sens d’approche est précisé.

Valeur au centre. Modifier, ajouter ou supprimer f(a) ne change pas la limite calculée dans le voisinage épointé. En revanche, cette opération peut changer la continuité au point a. Il faut donc contrôler séparément la limite et la valeur au centre.

La fonction continue relie la limite obtenue dans le voisinage épointé à la valeur prise au centre.

La limite à gauche isole l’approche par les valeurs inférieures au point considéré.

La limite à droite décrit symétriquement l’approche par les valeurs supérieures.