Impropre (intégrale)

Imaginez l’aire sous une courbe qui se prolonge sans fin vers la droite. On ne peut pas atteindre le bord de la zone, mais on peut arrêter le calcul à une borne, puis éloigner cette borne. Si les aires ainsi obtenues se rapprochent d’un nombre fini, l’intégrale impropre converge.

Le même geste sert près d’un point où la courbe devient non bornée : on garde d’abord une petite distance avec ce point, puis on fait tendre cette distance vers zéro.

Une intégrale impropre, aussi appelée intégrale généralisée, étend l’intégrale de Riemann lorsque l’intervalle d’intégration est non borné ou lorsque la fonction intégrande est non bornée au voisinage d’un point de l’intervalle. Le calcul porte d’abord sur un intervalle où l’intégrale ordinaire a un sens, puis sur la limite de ces intégrales.

Soit f la fonction intégrée et soit a une borne réelle. Sur l’intervalle [a, +∞), on introduit une borne réelle B supérieure à a, puis on pose :L’intégrale converge lorsque cette limite existe dans les nombres réels et reste finie. Sinon, elle diverge. Un intervalle non borné vers −∞, ou dans les deux directions, se traite avec la limite correspondante ; dans le dernier cas, les deux intégrales séparées doivent converger.

Si f devient non bornée en la borne gauche a d’un intervalle [a, b], où b est une borne réelle, on introduit une distance positive ε et l’on pose :Une singularité à la borne droite se traite par une limite à gauche. Une singularité intérieure impose de partager l’intervalle au point concerné et de vérifier séparément les deux limites.

On cherche l’aire sous la fonction qui associe à tout nombre réel x supérieur ou égal à 1 la valeur 1/x². Données : la borne de départ vaut 1 ; la borne provisoire B est supérieure à 1 ; la fonction est positive ; la borne finale est +∞.

1. Sur l’intervalle fini [1, B], une primitive de 1/x² est −1/x. On obtient donc :

2. Lorsque B tend vers +∞, le quotient 1/B tend vers 0. La limite des aires partielles est donc :

3. La courbe et les aires partielles montrent que la zone continue au-delà de toute borne finie, tandis que son aire totale se rapproche de 1.

4. Contrôle refaisable : après la borne 10, l’aire restante vaut 1/10, soit 0,1. L’aire accumulée jusqu’à 10 vaut donc 0,9, et leur somme redonne exactement 1.

L’intégrale impropre converge et sa valeur exacte est 1. Une zone infiniment longue peut donc avoir une aire finie ; c’est la décroissance de la fonction, et non la longueur seule, qui décide ici.

Pour intégrer sur un intervalle qui s’étend jusqu’à +∞, on remplace d’abord +∞ par une borne finie B. On calcule l’intégrale ordinaire, puis on étudie sa limite lorsque B grandit.

Lorsqu’une fonction devient non bornée à une extrémité, on décale cette extrémité d’une distance ε positive. Si la singularité est à l’intérieur de l’intervalle, on scinde le calcul et l’on teste chaque côté séparément.

Quand une primitive est difficile à obtenir, un critère de comparaison peut remplacer le calcul exact : on compare le comportement de la fonction avec celui d’une fonction dont la convergence est déjà connue. Le choix dépend du voisinage qui provoque l’impropriété.

Intégrale propre. Sur un intervalle fermé et borné, avec une fonction bornée et intégrable, aucune limite de borne n’est nécessaire. L’intégrale de 1/x² sur [1, 10] est propre ; sur [1, +∞), elle est impropre.

Primitive. Une primitive est une fonction dont la dérivée redonne l’intégrande. Elle aide à calculer les intégrales tronquées, mais ne décide pas à elle seule de leur convergence : il faut encore prendre la limite.

Valeur principale de Cauchy. Elle peut faire tendre simultanément deux troncatures de manière symétrique. Une compensation obtenue ainsi ne prouve pas la convergence de l’intégrale impropre ordinaire, qui exige la convergence séparée de chaque côté.

Une limite infinie n’est pas une valeur d’intégrale. Si les intégrales tronquées croissent sans borne, le symptôme est une limite égale à +∞. L’intégrale impropre diverge, même si l’on décrit parfois cette croissance comme une « aire infinie ».

Le seuil des puissances est décisif. Pour un nombre réel p, l’intégrale suivante converge exactement lorsque p est strictement supérieur à 1 :Au cas charnière p = 1, elle diverge. Une décroissance vers zéro ne suffit donc pas.

Une singularité intérieure demande deux tests. Si la fonction devient non bornée en un point c situé entre les bornes, on sépare l’intégrale en c. La convergence d’un seul côté, ou une compensation entre deux divergences, ne suffit pas.

Deux impropriétés se contrôlent séparément. Sur un intervalle non borné où la fonction possède aussi une singularité, une unique écriture de limite peut masquer un échec. On découpe le domaine en intervalles propres, puis on vérifie chaque limite avant d’additionner les valeurs.

La fiche Limite à droite précise la limite unilatérale utilisée lorsqu’une singularité est abordée depuis des valeurs supérieures.

La notion de fonction Intégrable aide à distinguer l’intégrabilité sur chaque intervalle tronqué de la convergence de la limite finale.

La convergence absolue approfondit un critère qui garantit la convergence lorsque l’intégrande peut changer de signe.