AnalyseNotion · Glossaire
valeur moyenne
La valeur moyenne d'une fonction continue f sur un intervalle [a, b] est le réel µ défini par µ = 1/(b−a) · ∫_a^b f(t) dt. Géométriquement, µ représente la hauteur du rectangle de base [a, b] dont l'aire signée est égale à l'intégrale de f sur cet intervalle. Cette valeur est aussi désignée sous le nom de valeur moyenne de l'intégrale correspondante. Le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales garantit l'existence d'au moins un réel c appartenant à [a, b] tel que f(c) = µ, c'est-à-dire que la fonction atteint effectivement sa valeur moyenne en un point de l'intervalle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la valeur moyenne d’une fonction à son intégrale sur un intervalle fini.
- Calculer la valeur moyenne de la fonction t ↦ t² sur [0, 3] et contrôler le résultat.
- Interpréter la moyenne comme la hauteur d’un rectangle de même aire signée.
- Distinguer valeur moyenne, moyenne arithmétique, taux de variation moyen et valeur quadratique moyenne.
- Repérer le rôle de la continuité et les cas où la formule ou le théorème ne s’appliquent pas.
En clair
Imaginez une courbe dont la hauteur varie entre deux points. La valeur moyenne est la hauteur constante qui donnerait, sur la même largeur, la même aire signée que la courbe. Autrement dit, on redistribue les bosses et les creux pour former un rectangle sans changer le bilan total.
Pour la courbe f(t) = t² entre 0 et 3, ce rectangle a une hauteur de 3. La courbe monte pourtant de 0 à 9 : la valeur moyenne n’est donc ni la hauteur finale ni le milieu entre les deux hauteurs extrêmes.
Définition
On considère deux nombres réels a et b tels que a < b, ainsi qu’une fonction continue f sur l’intervalle [a, b]. La lettre t désigne la variable parcourant cet intervalle. La valeur moyenne, notée μ, est l’intégrale de f sur [a, b] divisée par la longueur b − a de l’intervalle.
Le produit μ(b − a) est donc égal à l’intégrale. Si f reste positive ou nulle, il s’agit de l’aire ordinaire sous la courbe ; si f change de signe, il faut compter une aire signée, les zones sous l’axe retranchant les zones au-dessus. Le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales affirme que la continuité de f garantit au moins un nombre c dans [a, b] tel que . La fonction atteint ainsi sa valeur moyenne, sans que le point c soit nécessairement unique.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction qui associe à chaque nombre t son carré, sur l’intervalle allant de 0 à 3.
Données :
la fonction est f(t) = t² ;
la borne de départ est a = 0 ;
la borne d’arrivée est b = 3 ;
la longueur de l’intervalle vaut b − a = 3.
Données :
la fonction est f(t) = t² ;
la borne de départ est a = 0 ;
la borne d’arrivée est b = 3 ;
la longueur de l’intervalle vaut b − a = 3.
1. Une primitive de la fonction t ↦ t² est la fonction t ↦ t³/3. L’intégrale vaut donc .
2. On divise cette intégrale par la longueur 3 de l’intervalle : . La valeur moyenne de f sur [0, 3] est 3.
3. Le rectangle de base [0, 3] et de hauteur 3 a pour aire 3 × 3 = 9. Il possède bien la même aire que celle située sous la parabole.
4. Pour trouver où la fonction atteint cette moyenne, on résout t² = 3 sur [0, 3]. Le point cherché est , soit environ 1,73.
Le contrôle est direct : f(√3) = (√3)² = 3, tandis que l’aire du rectangle, 9, retrouve exactement l’intégrale calculée.
En pratique
Pour résumer une grandeur qui varie continûment dans le temps, on intègre son modèle puis on divise par la durée observée. Si l’on ne dispose que de mesures isolées et régulièrement espacées, la moyenne arithmétique des mesures est l’alternative naturelle.
Pour comparer deux profils sur un même intervalle, leur valeur moyenne donne la hauteur des rectangles de même base et de même aire signée. Si les intervalles n’ont pas la même longueur, comparer les intégrales seules favorise mécaniquement l’intervalle le plus long.
Quand aucune primitive simple n’est disponible, on peut approcher l’intégrale par des rectangles ou des trapèzes, puis diviser le résultat par b − a. Plus le découpage est fin, plus l’approximation peut devenir précise ; un calcul exact reste préférable lorsqu’une primitive est connue.
À ne pas confondre
Moyenne arithmétique d’une liste. Elle additionne un nombre fini de valeurs puis divise par leur effectif. La valeur moyenne d’une fonction agrège au contraire toutes les valeurs d’un intervalle par une intégrale. Pour f(t) = t² sur [0, 3], la moyenne des seules valeurs aux extrémités est (0 + 9)/2 = 4,5, alors que la valeur moyenne intégrale vaut 3.
Taux de variation moyen. Il mesure la variation des sorties entre les deux extrémités, divisée par la variation des entrées. Pour f(t) = t² sur [0, 3], ce taux et la valeur moyenne valent tous deux 3 par coïncidence. Sur [0, 2], le taux vaut 2, tandis que la valeur moyenne vaut 4/3 : les deux calculs sont bien distincts.
Valeur quadratique moyenne. Elle consiste à moyenner le carré des valeurs, puis à prendre une racine carrée. Elle est donc toujours positive ou nulle. Une fonction oscillant symétriquement autour de zéro peut avoir une valeur moyenne nulle mais une valeur quadratique moyenne positive : la présence du carré avant l’intégration distingue les deux calculs.
Limites et pièges
Changement de signe. Lorsque la courbe passe sous l’axe horizontal, l’intégrale mesure une aire signée et non la somme des surfaces géométriques. Une moyenne nulle peut donc cacher deux zones non nulles qui se compensent. Pour mesurer la surface totale, il faut intégrer la valeur absolue de la fonction.
Continuité absente. Une fonction intégrable peut posséder une valeur moyenne sans jamais l’atteindre. La fonction qui vaut 0 sur la première moitié de [0, 1] et 1 sur la seconde a pour moyenne 1/2, mais ne prend jamais cette valeur. Sans continuité, la conclusion f(c) = μ n’est donc plus garantie.
Intervalle réduit à un point. Si a = b, le dénominateur b − a vaut 0 et la formule n’est pas définie. Il faut traiter la valeur f(a) comme une convention ou une limite éventuelle, et non comme le résultat de cette formule.
Intervalle non borné. La formule donnée suppose deux bornes réelles distinctes et une longueur finie. Sur un intervalle infini, diviser directement une intégrale impropre par une longueur infinie n’a pas de sens ; il faut étudier une limite de moyennes sur des intervalles finis.
Pour aller plus loin
La fiche fonction continue précise l’hypothèse qui permet d’affirmer que la fonction atteint effectivement sa valeur moyenne sur l’intervalle.
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