AnalyseFormule · Glossaire
Formule de la moyenne
La formule de la moyenne, ou théorème de la valeur moyenne intégrale, affirme que si f est une fonction continue sur un intervalle fermé [a, b], alors il existe un point c dans l'intervalle ouvert (a, b) tel que l'intégrale de f sur [a, b] est égale à f(c) * (b - a). Autrement dit, la valeur moyenne de f sur [a, b] est atteinte en au moins un point de l'intervalle. Ce résultat a un analogue pour les fonctions dérivables : le théorème des accroissements finis.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la valeur moyenne d'une fonction à son intégrale sur un intervalle.
- Vérifier les hypothèses qui garantissent l'existence d'un point où cette moyenne est atteinte.
- Calculer la moyenne de x² sur [0, 3] et contrôler le résultat par une égalité d'aires.
- Distinguer la formule de la moyenne de la moyenne arithmétique et du théorème des accroissements finis.
En clair
Imaginez la courbe d'une fonction au-dessus d'un intervalle. Son altitude varie, mais on peut remplacer tout ce relief par un rectangle de même aire. La hauteur de ce rectangle est la valeur moyenne de la fonction.
Lorsque la courbe est continue, elle passe forcément par cette hauteur moyenne. Il existe donc au moins un point où la valeur instantanée de la fonction égale sa moyenne sur tout l'intervalle.
Définition
La formule de la moyenne est un théorème d'analyse portant sur une fonction continue. Soient deux nombres réels a et b tels que a < b, et une fonction f continue sur l'intervalle fermé [a, b]. La lettre x désigne la variable d'intégration. La valeur moyenne m de f est le quotient de son intégrale par la longueur b − a de l'intervalle : .
Le théorème affirme qu'il existe au moins un nombre c dans l'intervalle ouvert (a, b) pour lequel . La même conclusion s'écrit . Géométriquement, l'aire algébrique sous la courbe est celle d'un rectangle de largeur b − a et de hauteur f(c).
Le point c n'est pas nécessairement unique. Pour une fonction constante, tout point intérieur convient. La continuité garantit l'existence grâce au fait que f prend toutes les valeurs comprises entre son minimum et son maximum sur [a, b].
Le principe
Si une fonction f est continue sur l'intervalle fermé [a, b], avec a < b, alors il existe un réel c strictement compris entre a et b tel que l'égalité suivante est vraie, où x désigne la variable d'intégration :
Ici, l'intégrale mesure l'aire algébrique accumulée sur l'intervalle. Le facteur b − a est sa longueur, et f(c) est la hauteur moyenne effectivement prise par la fonction.
Quand l'utiliser
Il faut un intervalle [a, b] de longueur strictement positive et une fonction définie et continue sur tout cet intervalle, extrémités comprises. Ces conditions suffisent à assurer que la moyenne intégrale existe et qu'elle est atteinte en un point intérieur c.
Sans continuité, l'intégrale peut encore exister, mais la conclusion n'est plus garantie. Sur [0, 1], une fonction valant 0 jusqu'à 1/2 inclus, puis 1 au-delà, a pour moyenne 1/2 sans jamais prendre cette valeur. On peut alors calculer la moyenne intégrale, mais pas invoquer le théorème pour obtenir un point c.
Un exemple, pas à pas
Prenons la fonction f qui associe à la variable x son carré, soit f(x) = x2, sur l'intervalle [0, 3]. Elle est continue, la borne gauche vaut 0, la borne droite vaut 3 et la longueur de l'intervalle vaut donc 3.
1. Calculons l'intégrale : .
2. Divisons cette aire par la longueur 3 : .
3. Cherchons le point où f prend cette valeur : .
4. Dans l'intervalle (0, 3), la solution est .
2. Divisons cette aire par la longueur 3 : .
3. Cherchons le point où f prend cette valeur : .
4. Dans l'intervalle (0, 3), la solution est .
La valeur moyenne de f est donc 3, atteinte pour c = √3. Le contrôle est direct : le rectangle de largeur 3 et de hauteur 3 a une aire de 9, égale à l'intégrale calculée. La figure rend visibles cette égalité d'aires et le point où la courbe atteint la hauteur moyenne.
En pratique
Pour calculer une valeur moyenne continue, on intègre la fonction sur l'intervalle, puis on divise par sa longueur. Une moyenne arithmétique convient plutôt lorsque les données sont une liste finie de mesures.
Pour prouver qu'une fonction atteint sa moyenne, on vérifie sa continuité sur l'intervalle fermé. Si la fonction présente un saut, le calcul de la moyenne reste parfois possible, mais il faut chercher séparément si cette valeur est atteinte.
Pour contrôler un résultat, on multiplie la moyenne obtenue par la longueur de l'intervalle. Le produit doit redonner l'intégrale. On peut aussi vérifier que la moyenne se situe entre le minimum et le maximum de la fonction.
À ne pas confondre
Moyenne arithmétique. Elle additionne un nombre fini de valeurs puis divise par leur effectif. La moyenne intégrale porte sur toutes les valeurs d'une fonction le long d'un intervalle. Pour 1, 4 et 9, on utilise la moyenne arithmétique ; pour x2 sur [0, 3], on utilise une intégrale.
Théorème des accroissements finis. Il concerne une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur (a, b), puis relie son taux d'accroissement à une valeur de sa dérivée. La formule de la moyenne intégrale relie au contraire l'intégrale de f à une valeur de f elle-même.
Limites et pièges
Intervalle réduit à un point. Si a = b, la longueur est nulle et le quotient définissant la moyenne comporte une division par zéro. Il faut travailler sur un intervalle de longueur strictement positive.
Discontinuité. Une fonction intégrable peut avoir une moyenne qu'elle ne prend jamais. Un saut qui évite précisément cette hauteur signale qu'il faut vérifier l'existence de c directement, sans appliquer le théorème.
Point non unique. Le théorème promet au moins un point c, pas un seul. Si une droite horizontale de hauteur moyenne coupe plusieurs fois la courbe, chaque abscisse d'intersection convient ; pour une fonction constante, toutes conviennent.
Aire algébrique. L'intégrale tient compte du signe de f. Des zones positives et négatives peuvent se compenser et donner une moyenne nulle, même si la courbe n'est presque jamais proche de zéro. Il faut conserver les signes ou intégrer la valeur absolue si l'on cherche une aire géométrique totale.
Pour aller plus loin
Valeur moyenne précise le sens de la hauteur constante associée à une grandeur variable sur un intervalle.
Fonction continue approfondit l'hypothèse qui garantit que la hauteur moyenne est effectivement atteinte.
Théorème des accroissements finis présente l'analogue différentiel annoncé dans la définition de référence.
Rolle : des théorèmes en cascade ! replace le théorème des accroissements finis dans une chaîne de résultats d'analyse.
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