AnalyseThéorème · Glossaire
théorème des accroissements finis généralisé
Le théorème des accroissements finis généralisé, également appelé théorème de la moyenne de Cauchy, étend le théorème des accroissements finis au cas de deux fonctions simultanées. Soient f et g deux fonctions continues sur l'intervalle fermé [a, b] et dérivables sur l'intervalle ouvert ]a, b[. Si la dérivée g′(x) est non nulle sur ]a, b[, alors il existe au moins un réel c dans ]a, b[ vérifiant : (f(b) − f(a)) · g′(c) = f′(c) · (g(b) − g(a)). Ce résultat est une conséquence directe du théorème de Rolle, au même titre que le théorème des accroissements finis classique. Il intervient notamment dans la démonstration des règles de L'Hôpital pour le calcul des limites de formes indéterminées.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier toutes les hypothèses du théorème.
- Lire l’égalité entre variations totales et dérivées.
- Calculer et contrôler le point c sur un exemple.
- Distinguer le résultat du théorème classique, de Rolle et de la règle de L’Hôpital.
En clair
Imaginez deux compteurs qui évoluent ensemble entre un départ et une arrivée. Le premier mesure la variation de f, le second celle de g. Le théorème affirme qu’à un instant intermédiaire, le rapport entre leurs vitesses instantanées reproduit le rapport entre leurs variations totales.
Il ne localise pas cet instant et n’en garantit pas l’unicité. Il assure seulement qu’au moins une valeur intermédiaire réalise cet équilibre, sous des conditions précises de continuité et de dérivabilité.
Définition
Le théorème des accroissements finis généralisé, ou théorème de la moyenne de Cauchy, compare les variations de deux fonctions sur un même intervalle. On note f et g ces fonctions, et a et b les extrémités de l’intervalle, avec a < b. Les deux fonctions sont continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[. De plus, la dérivée de g ne s’annule pas dans l’intervalle ouvert.
Il existe alors au moins un nombre c strictement compris entre a et b pour lequel les variations totales et les dérivées vérifient :
Lorsque les dénominateurs sont non nuls, cette identité dit que le quotient des deux variations totales est égal au quotient des deux vitesses instantanées en c. En choisissant g(x) = x, on retrouve le théorème des accroissements finis classique. Le résultat découle du théorème de Rolle et intervient dans la démonstration des règles de L’Hôpital.
Le principe
Soient deux fonctions f et g continues sur l’intervalle fermé [a, b] et dérivables sur l’intervalle ouvert ]a, b[. Si la dérivée g′(x) est non nulle pour tout x de ]a, b[, alors il existe au moins un réel c dans ]a, b[ tel que :
Autrement dit, au point c, les dérivées de f et de g sont proportionnelles aux variations de ces fonctions entre a et b.
Quand l'utiliser
Le théorème porte sur deux fonctions réelles définies sur le même intervalle [a, b], avec a < b. Chacune doit être continue jusqu’aux deux extrémités et dérivable en tout point intérieur. La dérivée de la seconde fonction, notée g′, doit en outre rester non nulle sur ]a, b[. Ces conditions donnent l’existence d’au moins un point c intérieur, sans fournir sa valeur ni assurer qu’il est unique.
Par exemple, prendre g(x) = x2 sur [−1, 1] bloque l’application de cette version : g′(0) = 0. Même si les fonctions sont continues et dérivables, l’hypothèse supplémentaire échoue. Il faut alors revenir au théorème de Rolle appliqué à une fonction auxiliaire, ou choisir un résultat dont les hypothèses correspondent au problème.
Un exemple, pas à pas
Sur l’intervalle [1, 2], on choisit la première fonction f définie par f(x) = x3 et la seconde fonction g définie par g(x) = x2. Elles sont continues sur [1, 2] et dérivables sur ]1, 2[. De plus, g′(x) = 2x ne s’y annule pas.
1. Les variations totales valent f(2) − f(1) = 8 − 1 = 7 et g(2) − g(1) = 4 − 1 = 3.
2. Les dérivées sont f′(x) = 3x2 et g′(x) = 2x. L’identité du théorème devient :
3. Comme c est dans ]1, 2[, il est non nul. L’égalité 14c = 9c2 donne donc c = 14/9, valeur bien comprise entre 1 et 2.
4. Le contrôle consiste à comparer les deux rapports : 7/3 pour les variations, et f′(c)/g′(c) = 3c/2 = 7/3 pour les dérivées. La représentation paramétrée par les coordonnées (g(x), f(x)) montre la corde des variations totales et une tangente de même pente au point associé à c.
En pratique
Pour prouver une égalité entre deux taux de variation, on vérifie d’abord la continuité, la dérivabilité et l’absence de zéro pour g′. On calcule ensuite les deux variations entre les extrémités, puis on cherche le point c annoncé par le théorème.
Si une seule fonction intervient, le théorème classique est généralement plus direct : il correspond au choix g(x) = x. La version généralisée devient utile lorsque deux fonctions varient ensemble et que leur rapport joue un rôle central.
Dans l’étude des formes indéterminées, le résultat sert de fondement aux règles de L’Hôpital. Il relie alors un quotient de variations sur un intervalle à un quotient de dérivées en un point intérieur ; les hypothèses propres à la limite étudiée restent à contrôler.
À ne pas confondre
Le théorème des accroissements finis classique porte sur une fonction et compare son accroissement à sa dérivée. Le théorème généralisé en compare deux. Si la seconde fonction est g(x) = x, les deux formulations coïncident.
Le théorème de Rolle conclut à l’existence d’un point où une dérivée s’annule lorsque les valeurs aux deux extrémités sont égales. Ici, la conclusion est une proportion entre deux dérivées et deux accroissements. Rolle constitue l’outil de démonstration, pas l’énoncé obtenu.
La règle de L'Hospital concerne le calcul de certaines limites de quotients. Le théorème de la moyenne de Cauchy est un résultat sur un intervalle fermé ; il intervient dans la démonstration de cette règle, mais ne s’y substitue pas.
Limites et pièges
L’annulation de g′ en un seul point intérieur suffit à empêcher l’usage de la version énoncée. Le symptôme est une valeur x pour laquelle g′(x) = 0 ; il faut alors repartir du théorème de Rolle ou employer un énoncé adapté, plutôt que diviser par g′.
« Il existe au moins un c » ne signifie pas « il existe un unique c ». Avec f(x) = g(x) = x sur [0, 1], l’identité est vraie pour tout c de ]0, 1[. Il faut donc éviter de parler du point c comme s’il était déterminé sans calcul supplémentaire.
Les dérivées ne sont exigées que sur l’intervalle ouvert. Une dérivée absente en a ou en b n’est donc pas, à elle seule, un obstacle ; en revanche, une discontinuité à l’une des extrémités invalide l’hypothèse sur [a, b].
Le théorème fonde les règles de L’Hôpital, mais il ne transforme pas automatiquement tout quotient indéterminé en quotient de dérivées. Avant ce passage, il faut vérifier les hypothèses de la règle de limite utilisée.
Pour aller plus loin
Le théorème des accroissements finis montre le cas à une fonction, obtenu ici en choisissant g(x) = x.
La règle de L'Hospital prolonge l’étude vers les limites de quotients et les formes indéterminées mentionnées dans l’énoncé de référence.
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