Rolle Michel

En 1682, à Paris, Michel Rolle se fait remarquer en résolvant un problème de Jacques Ozanam sur des nombres dont certaines sommes et différences sont des carrés. Ce succès lui ouvre les portes de l’Académie des sciences.

Son nom reste surtout attaché à une idée visuelle. Imaginez une courbe qui part d’une certaine hauteur et revient exactement à cette hauteur. Si elle est tracée sans rupture ni angle, elle possède entre les deux extrémités au moins un point où elle est momentanément horizontale. Le théorème de Rolle rend cette intuition précise.

Michel Rolle (1652–1719) est un mathématicien français dont les travaux concernent l’analyse diophantienne et l’algèbre. Son Traité d’Algèbre paraît en 1690. Il est principalement connu pour le théorème de Rolle, énoncé en 1691 sans démonstration.

Le théorème s’applique à une fonction réelle, notée f, définie sur un intervalle fermé dont les bornes sont deux nombres réels a et b, avec a strictement inférieur à b. La fonction doit être continue sur tout l’intervalle [a, b]. Elle doit être dérivable entre les bornes, sur ]a, b[. Enfin, ses valeurs aux extrémités doivent être égales. Sous ces trois conditions, il existe au moins un nombre c strictement compris entre a et b pour lequel la dérivée de f est nulle.

L’énoncé complet s’écrit : $f\text{ continue sur }[a,b],f\text{ d}\acute{\text{e}}\text{rivable sur }]a,b[,f(a)=f(b)⟹\mathrm{\exists }c\in ]a,b[,f^{\mathrm{\prime }}(c)=0f\; \backslash text\{\; continue\; sur\; \}\; [a,b],\backslash quad\; f\; \backslash text\{\; dérivable\; sur\; \}\; ]a,b[,\backslash quad\; f(a)=f(b)\; \backslash Longrightarrow\; \backslash exists\; c\; \backslash in\; ]a,b[,\backslash \; f\text{'}(c)=0$. Le théorème garantit l’existence d’au moins un tel point, mais ni son unicité ni sa position. Il est un cas particulier du théorème des accroissements finis et intervient dans de nombreuses démonstrations d’analyse réelle.

Considérons la fonction f définie sur l’intervalle [0, 2] par $f(x)=(x-1{)}^{2}f(x)=(x-1)^2$. Les données sont les bornes 0 et 2, la même valeur 1 aux deux extrémités, et une parabole continue et dérivable. La courbe associée rend visible le point intérieur attendu par le théorème.

1. Aux extrémités, on obtient $f(0)=(-1{)}^2=1\text{et}f(2)=1^2=1f(0)=(-1)^2=1\backslash quad\; \backslash text\{et\}\; \backslash quad\; f(2)=1^2=1$. L’égalité exigée est donc vérifiée.

2. Un polynôme est continu et dérivable sur tout intervalle réel. Les deux autres hypothèses sont donc satisfaites sur [0, 2] et ]0, 2[.

3. La dérivée vaut $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x-1)f\text{'}(x)=2(x-1)$. Chercher une dérivée nulle revient à résoudre $2(x-1)=02(x-1)=0$, ce qui donne x = 1.

4. Le nombre c = 1 appartient bien à ]0, 2[ et f′(1) = 0. Le contrôle graphique est refaisable : au sommet de la parabole, la tangente est horizontale, tandis que les points d’abscisses 0 et 2 sont à la même hauteur.

Pour appliquer le théorème, on commence par vérifier séparément la continuité sur l’intervalle fermé, la dérivabilité à l’intérieur et l’égalité des valeurs aux bornes. Si l’une manque, le théorème de Rolle ne permet pas de conclure.

Quand ces conditions sont réunies, on cherche ensuite les solutions de f′(x) = 0 situées strictement entre les bornes. Le résultat attendu est une existence : trouver un seul point convient, même si la fonction en possède plusieurs.

Si les valeurs aux deux extrémités sont différentes, le théorème des accroissements finis est l’alternative naturelle. Il ne cherche plus une tangente horizontale, mais une tangente dont la pente égale celle de la droite reliant les extrémités.

Théorème de Rolle et théorème des accroissements finis. Rolle exige f(a) = f(b) et conclut à une dérivée nulle. Le théorème des accroissements finis accepte des valeurs différentes et relie une dérivée à la pente entre les extrémités. Avec f(0) = f(2) = 1, la pente entre les bornes est nulle : le premier énoncé est précisément le cas particulier adapté.

Dérivée nulle et fonction constante. Une dérivée nulle en un point ne signifie pas que la fonction est constante sur tout l’intervalle. Pour f(x) = (x − 1)², la dérivée s’annule en 1, alors que f(0) = 1 et f(1) = 0.

Une hypothèse manquante bloque la conclusion. La seule égalité f(a) = f(b) ne suffit pas. Une rupture de continuité, un angle ou une pointe à l’intérieur peut empêcher l’existence d’une dérivée nulle. Il faut donc contrôler la continuité et la dérivabilité avant tout calcul.

Le point doit être intérieur. Une dérivée nulle uniquement en a ou en b ne répond pas à l’énoncé. Dans l’exemple sur [0, 2], le nombre c = 1 convient parce que 0 < 1 < 2.

L’existence n’implique pas l’unicité. Le théorème promet au moins un point c. Une fonction constante vérifie les hypothèses et sa dérivée est nulle en tout point intérieur ; une autre fonction peut avoir plusieurs tangentes horizontales. Il ne faut donc pas conclure à « un unique c » sans argument supplémentaire.

Le théorème de Rolle devient aussi un outil pour étudier les solutions d’une équation. L’article Résoudre des équations : le théorème de Rolle à la rescousse montre ce que la dérivée révèle sur les racines possibles.

Dans un cadre plus général, le théorème des accroissements finis remplace l’égalité des hauteurs par la pente de la droite reliant les extrémités. Le théorème de Rolle correspond exactement au cas où cette pente est nulle.