théorème de Darboux - analyse -

Imaginez l’aiguille qui indique la pente d’une courbe pendant que l’on avance dessus. Si elle montre d’abord −3, puis 0, elle doit avoir affiché toutes les pentes intermédiaires, comme −2. C’est ce que garantit le théorème de Darboux pour la dérivée.

La surprise est que l’aiguille peut osciller et ne pas évoluer de façon continue. Elle n’a pourtant pas le droit de sauter directement d’une pente à une autre en évitant les valeurs situées entre les deux.

Le théorème de Darboux est un résultat d’analyse réelle démontré en 1875. Il porte sur une fonction réelle f dérivable en chaque point d’un intervalle I. La dérivée f′ associe à chaque point la pente instantanée de f.

Choisissons deux points x₁ et x₂ de I. Toute valeur réelle k située entre f′(x₁) et f′(x₂) est égale à f′(c) pour au moins un point c compris entre x₁ et x₂. Autrement dit, l’ensemble f′(I) des valeurs prises par la dérivée est lui-même un intervalle.

Cette propriété des valeurs intermédiaires ne suppose pas que f′ soit continue. Une dérivée discontinue peut osciller, parfois fortement, mais aucune discontinuité de saut ne peut séparer deux plages de valeurs. Sur un intervalle fermé, il faut en outre préciser le sens de « dérivable aux extrémités » : la formulation sans ambiguïté choisit deux points où la dérivée est définie, généralement à l’intérieur de l’intervalle.

Soit f une fonction réelle dérivable sur un intervalle I. Si x₁ et x₂ appartiennent à I et si le réel k est compris entre les deux nombres dérivés f′(x₁) et f′(x₂), alors il existe un point c situé entre x₁ et x₂ tel que f′(c) = k.

Trois vérifications suffisent. Le domaine considéré doit être un intervalle, donc sans trou entre x₁ et x₂. La fonction f doit être dérivable en tout point situé entre eux. Enfin, la valeur cible k doit appartenir à l’intervalle délimité par f′(x₁) et f′(x₂). La conclusion donne l’existence d’au moins un point c, pas une méthode pour le calculer ni son unicité.

Un domaine formé de deux morceaux séparés bloque le raisonnement global. Par exemple, la fonction f(x) = x² sur ]−2, −1[ ∪ ]1, 2[ a une dérivée comprise entre −4 et −2 sur le premier morceau, puis entre 2 et 4 sur le second. La valeur 0 se trouve entre ces plages sans être prise par f′. Il faut appliquer le théorème séparément sur chaque intervalle connexe.

Données. On considère sur ℝ la fonction polynomiale f définie par f(x) = x³ − 3x, puis on l’étudie sur [0, 1]. Sa dérivée est f′(x) = 3x² − 3. On cherche où cette dérivée prend la valeur k = −2.

1. Aux extrémités choisies, f′(0) = −3 et f′(1) = 0. La cible −2 est bien comprise entre −3 et 0.

2. La fonction f est un polynôme, donc elle est dérivable en tout point de [0, 1]. Les hypothèses du théorème sont satisfaites : il existe au moins un point c où f′(c) = −2.

3. Dans cet exemple, on peut trouver ce point en résolvant l’équation annoncée : $3c^2-3=-23c^2-3=-2$. Elle donne c² = 1/3, puis c = 1/√3 ≈ 0,577, seule solution appartenant à [0, 1].

Contrôle. En remplaçant c par 1/√3, on obtient exactement f′(c) = 3 × (1/3) − 3 = −2. Le graphe de f′ montre aussi que la courbe reliant −3 à 0 rencontre le niveau −2 au point d’abscisse 1/√3.

Pour prouver qu’une pente donnée apparaît, on compare deux valeurs de la dérivée. Si f′ est connue continue, le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à f′ suffit ; si seule la dérivabilité de f est établie, Darboux fournit encore l’existence.

Pour rechercher un point stationnaire, on repère une dérivée négative et une dérivée positive. Darboux impose alors une valeur nulle entre les deux. Il remplace un calcul explicite lorsque l’équation f′(x) = 0 est difficile à résoudre.

Pour tester si une fonction donnée peut être une dérivée, on examine ses discontinuités. Un saut véritable l’exclut immédiatement ; une oscillation discontinue ne suffit pas, car certaines dérivées oscillantes conservent toutes les valeurs intermédiaires.

Avec le théorème des valeurs intermédiaires. Celui-ci concerne les valeurs d’une fonction continue. Le théorème de Darboux concerne les valeurs d’une dérivée et reste valable sans continuité de cette dérivée. Si f′ est continue, les deux résultats conduisent à la même existence, mais leurs hypothèses ne sont pas les mêmes.

Avec le théorème des accroissements finis. Ce dernier garantit un point où la dérivée égale la pente d’une sécante. Darboux garantit au contraire toutes les valeurs comprises entre deux valeurs déjà prises par la dérivée. Dans l’exemple f(x) = x³ − 3x, la cible −2 est choisie entre f′(0) et f′(1) ; elle se trouve aussi être la pente de la sécante sur [0, 1], sans que cette coïncidence confonde les deux résultats.

Une dérivée discontinue n’est pas nécessairement presque continue. Elle peut osciller sans tendre vers une limite. Pour f(0) = 0 et f(x) = x² sin(1/x) lorsque x ≠ 0, la dérivée existe en 0 mais oscille à son voisinage. Il faut retenir la propriété des valeurs intermédiaires, pas une continuité cachée.

Les extrémités demandent une convention. Dans l’usage standard, « dérivable sur [a, b] » signifie souvent dérivable sur ]a, b[, avec seulement la continuité aux bornes ; f′(a) et f′(b) ne sont alors pas définies au sens bilatéral. Pour éviter l’ambiguïté, on choisit deux points intérieurs ou l’on précise des dérivées unilatérales.

L’existence n’est pas l’unicité. Le théorème affirme qu’au moins un point c convient. Si le graphe de f′ traverse plusieurs fois le même niveau k, plusieurs solutions existent. Il faut étudier la monotonie de f′ ou résoudre l’équation pour conclure à l’unicité.

Un trou dans le domaine rompt la garantie globale. Des valeurs de dérivée situées sur deux composantes séparées n’obligent pas la dérivée à prendre les valeurs intermédiaires entre elles. Il faut restreindre l’étude à chaque intervalle inclus dans le domaine.

Le théorème de Darboux s’interprète comme une propriété de connexité : l’image d’un intervalle par une dérivée reste un intervalle, même lorsque la dérivée n’est pas continue. Cette contrainte fournit un premier critère pour reconnaître les fonctions qui ne peuvent être des dérivées.

Théorème des valeurs intermédiaires — Comparer le rôle de la continuité avec la propriété plus surprenante imposée aux dérivées.

Fonction continue — Revoir la notion de continuité afin de mesurer exactement ce que le théorème de Darboux n’exige pas de f′.