fonction de classe Cn

Imaginez que l'on zoome sur la courbe de la fonction g définie par g(x) = x|x| autour de l'origine. La courbe n'a pas de coin et sa pente varie sans saut : g est de classe C¹. En revanche, la façon dont cette pente change bascule brutalement au passage de 0. La fonction n'est donc pas de classe C².

L'indice n mesure ainsi un degré de régularité : plus il est grand, plus on peut dériver de fois tout en conservant la continuité au dernier niveau.

Soit n un entier naturel et f une fonction définie sur un intervalle I. La fonction f est de classe Cⁿ sur I lorsqu'elle possède des dérivées jusqu'à l'ordre n et que sa dérivée d'ordre n, notée f⁽ⁿ⁾, est continue sur I. Les dérivées d'ordres inférieurs sont alors continues elles aussi : pour chaque entier k compris entre 0 et n, f^(k) est continue. Par convention, f⁽⁰⁾ désigne f ; être de classe C⁰ signifie donc simplement être continue.

Les classes sont emboîtées. Pour deux entiers k et n tels que k ≤ n, toute fonction Cⁿ est C^k : $C^n(I)\subseteq C^k(I)C^n(I)\backslash subseteq\; C^k(I)$. L'implication inverse est généralement fausse ; la fonction g(x) = x|x|, utilisée dans l'exemple, est C¹ sur ℝ mais pas C².

Une fonction est de classe C^∞ si elle appartient à Cⁿ pour tout entier n : elle peut être dérivée indéfiniment et toutes ses dérivées sont continues. Toute fonction analytique, c'est-à-dire localement représentable par une série entière, est C^∞. La réciproque est fausse : être infiniment dérivable ne garantit pas l'existence d'un développement en série entière égal à la fonction.

Cinq éléments organisent la notion. L'intervalle I fixe le domaine où la régularité est examinée. La fonction f fournit les valeurs de départ. L'entier n indique jusqu'à quel ordre dériver. La chaîne f, f′, f″, …, f⁽ⁿ⁾ rassemble les dérivées successives. Enfin, la continuité de la dernière dérivée est le test décisif.

Chaque maillon dépend du précédent, puisque f^(k+1) est la dérivée de f^(k). L'existence de f⁽ⁿ⁾ rend déjà les dérivées précédentes dérivables, donc continues ; il reste à contrôler la continuité au rang n. Changer n change la classe demandée, tandis que la couleur ou l'échelle d'un tracé ne change jamais la régularité de la fonction. Le schéma synthétise le sens exact des implications entre classes.

Considérons sur ℝ la fonction g définie par g(x) = x|x|. Les données sont son domaine ℝ, le point de raccord 0 et l'objectif : déterminer si g est C¹, puis C². Sa définition par morceaux est :

1. La fonction est continue en 0, car les deux expressions tendent vers 0 et g(0) = 0.

2. Pour x ≠ 0, on dérive chaque morceau. Au point 0, le quotient (g(h) − g(0))/h vaut |h| et tend vers 0. Ainsi g′(0) = 0 et $g^{\mathrm{\prime }}(x)=2\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }g\text{'}(x)=2|x|$ sur tout ℝ. Cette dérivée est continue : g est C¹.

3. Pour tester l'ordre 2 en 0, le quotient (g′(h) − g′(0))/h vaut 2|h|/h. Il tend vers −2 à gauche et vers 2 à droite. La dérivée seconde n'existe donc pas en 0.

Le résultat est net : g appartient à C¹(ℝ), mais pas à C²(ℝ). Le contrôle refaisable consiste à recalculer les deux limites unilatérales du dernier quotient ; leur désaccord suffit à conclure.

Pour vérifier qu'une fonction est Cⁿ, on calcule ses dérivées jusqu'à l'ordre n sur chaque portion de son domaine, puis on contrôle la continuité de f⁽ⁿ⁾. Si la formule change par morceaux, les points de raccord demandent une vérification séparée.

Dans une formule de Taylor, l'ordre de régularité demandé indique combien de dérivées peuvent intervenir avec les garanties du théorème employé. Si la fonction n'atteint pas cette classe, on réduit l'ordre ou l'on choisit un résultat fondé sur des hypothèses plus faibles.

Pour comparer deux modèles, préciser « C¹ mais pas C² » est plus informatif que dire seulement « dérivable ». Ce diagnostic localise exactement le premier niveau où la régularité échoue, comme au point 0 pour g(x) = x|x|.

n fois dérivable et de classe Cⁿ. La première propriété assure l'existence de f⁽ⁿ⁾, mais pas sa continuité. Pour les distinguer, il faut tester cette continuité. Une dérivée d'ordre n discontinue donne une fonction n fois dérivable qui n'est pas Cⁿ.

C^∞ et analytique. Une fonction analytique coïncide localement avec sa série entière et est toujours C^∞. Le test inverse ne marche pas : l'existence de dérivées continues à tout ordre ne suffit pas à garantir cette coïncidence.

Le cas n = 0. Il n'y a aucune dérivation à effectuer : C⁰ signifie continue. Oublier cette convention ferait disparaître le premier étage de la hiérarchie.

Le sens de l'inclusion. Une fonction C³ est automatiquement C² et C¹, mais une fonction C¹ n'est pas nécessairement C². L'exemple g(x) = x|x| tranche précisément ce cas.

Les points de raccord. Dériver correctement chaque morceau ne suffit pas. Il faut encore vérifier au raccord l'existence de la dérivée demandée et la continuité de la dernière dérivée ; à 0, g′ est continue mais g″ n'existe pas.

Les extrémités d'un intervalle fermé. La dérivabilité y est comprise avec des dérivées unilatérales, ou bien la régularité est définie via une extension à un intervalle ouvert, selon la convention du cours. Il faut annoncer la convention avant de conclure.

La notion de fonction continue permet d'approfondir le niveau C⁰, socle de toute la hiérarchie.

La fiche fonction analytique précise la condition plus forte qui implique C^∞ sans lui être équivalente.

Les Développements limités montrent comment les dérivées successives alimentent une approximation locale à un ordre choisi.