Vecteur noeud

Imaginez une règle graduée qui découpe le parcours d’une courbe en intervalles. Les graduations, appelées nœuds, sont rangées dans une liste : le vecteur nœud. Une graduation répétée agit comme une charnière plus marquée. Elle réduit la douceur du raccord, tandis qu’une graduation simple préserve davantage de continuité.

Cette liste ne donne pas les points de la courbe. Elle organise le paramètre qui indique quelles fonctions de base B-spline interviennent sur chaque portion.

Un vecteur nœud est une suite non décroissante de nombres réels, notée ici $U=(u_0,u_1,\dots ,u_m)U=(u\_0,u\_1,\backslash ldots,u\_m)$. Chaque valeur u_i est un nœud dans l’espace du paramètre. Deux valeurs consécutives distinctes délimitent un intervalle sur lequel les fonctions de base B-spline sont polynomiales. Des valeurs égales sont autorisées : leur nombre d’occurrences est la multiplicité du nœud.

Le degré p de la B-spline n’appartient pas au vecteur, mais il faut le connaître pour interpréter celui-ci. À un nœud intérieur de multiplicité r, avec 1 ≤ r ≤ p, une spline de degré p est en général de classe C^p−r. Pour r = p + 1, le raccord est généralement discontinu. Ainsi, pour une spline cubique, un nœud simple donne un raccord C², un nœud double un raccord C¹ et un nœud triple un raccord C⁰. Cette règle suppose des morceaux voisins effectivement présents ; des choix particuliers de points de contrôle peuvent rendre une courbe accidentellement plus régulière.

Avec n + 1 points de contrôle et le degré p, la convention usuelle impose m = n + p + 1. Pour un vecteur ouvert, les nœuds extrêmes sont répétés p + 1 fois. La courbe est alors étudiée sur l’intervalle paramétrique [u_p, u_m−p]. Les nœuds, le degré et les points de contrôle suffisent ensemble à définir la courbe B-spline ; le vecteur seul n’en fixe ni la position ni la forme complète.

Le vecteur contient d’abord des valeurs ordonnées, qui placent les nœuds sur l’axe du paramètre. Les intervalles non vides sont formés entre deux valeurs distinctes successives ; ils localisent les morceaux polynomiaux. Les répétitions donnent la multiplicité et modifient la continuité au raccord. Enfin, les extrémités déterminent, avec le degré, le domaine paramétrique utile.

Ces éléments dépendent les uns des autres : changer l’ordre invalide le vecteur, tandis qu’ajouter une répétition conserve la position du nœud mais change les fonctions de base actives et la régularité permise. L’échelle des valeurs paramétriques peut être transformée sans imposer à elle seule une nouvelle forme géométrique. Pour construire la courbe, il faut encore associer le degré et les points de contrôle au vecteur.

Considérons une B-spline cubique ouverte. On veut lire son domaine et la régularité autorisée à chaque nœud intérieur.

Données.
Degré : p = 3.
Vecteur nœud : $U=(0,0,0,0,1,2,2,3,3,3,3)U=(0,0,0,0,1,2,2,3,3,3,3)$.
Nombre de valeurs : 11, donc m = 10.
Points de contrôle nécessaires : n + 1 = 7.

1. Les extrémités 0 et 3 apparaissent chacune quatre fois, soit p + 1 fois. Le vecteur est donc ouvert aux deux extrémités.

2. Le domaine utile va de u₃ à u₇. On obtient exactement [0, 3], partagé en trois intervalles non vides : [0, 1], [1, 2] et [2, 3].

3. Le nœud 1 est simple : r = 1. La continuité générique vaut C³⁻¹, donc C².

4. Le nœud 2 est double : r = 2. La continuité générique vaut C³⁻², donc C¹. Le raccord peut conserver une tangente continue, mais sa courbure n’est pas obligée de l’être.

Le contrôle est refaisable : 7 points de contrôle, le degré 3 et 11 nœuds vérifient bien 11 = 7 + 3 + 1.

En conception assistée par ordinateur, le modeleur modifie la multiplicité d’un nœud pour accentuer un raccord sans déplacer tous les points de contrôle. Un nœud simple convient à une transition très lisse ; une multiplicité plus forte est choisie lorsqu’une cassure de régularité doit devenir possible.

Pour insérer un détail local, on peut ajouter un nœud sans changer la courbe, puis ajuster les nouveaux points de contrôle. Cette insertion est préférable à une hausse globale du degré lorsque seule une zone doit gagner en souplesse.

Avant un calcul, il faut vérifier trois indices visibles : la suite est non décroissante, le nombre de nœuds concorde avec le degré et les points de contrôle, et les multiplicités intérieures ne dépassent pas le comportement recherché. Une anomalie à l’un de ces contrôles signale souvent une convention mal lue ou des données incompatibles.

Vecteur nœud et liste des points de contrôle. Le premier contient des valeurs scalaires ordonnées dans l’espace du paramètre ; la seconde contient des positions géométriques. Dans l’exemple, 11 valeurs forment le vecteur, mais seulement 7 points de contrôle sont nécessaires.

B-spline et courbe de Bézier. Une courbe de Bézier de degré p correspond au cas sans nœud intérieur, avec seulement deux valeurs extrêmes répétées p + 1 fois. La présence d’un nœud intérieur, comme 1 ou 2 dans l’exemple, distingue la construction B-spline composée de plusieurs intervalles.

Intervalle de longueur nulle. Deux nœuds consécutifs égaux ne créent pas un nouveau morceau paramétrique. Ils augmentent la multiplicité. Il faut compter les valeurs distinctes pour repérer les intervalles non vides, et toutes les occurrences pour étudier la continuité.

Continuité annoncée trop vite. La formule C^p−r décrit la régularité générique au nœud intérieur de multiplicité r. Des points de contrôle particuliers peuvent aligner davantage les morceaux et produire une continuité supérieure. Il faut donc distinguer ce que le vecteur autorise de ce que la géométrie réalise.

Multiplicité charnière. Pour un degré p, une multiplicité intérieure r = p donne seulement C⁰ en général. Avec r = p + 1, les morceaux peuvent devenir disjoints : il ne faut plus promettre un raccord continu sans examiner la définition adoptée et les points de contrôle.

Convention d’extrémité. Tous les vecteurs nœuds ne sont pas ouverts ni normalisés entre 0 et 1. Il faut lire les valeurs et le degré avant d’identifier le domaine utile, au lieu de supposer une convention particulière.

B-Spline — Relier le vecteur nœud aux fonctions de base et aux points de contrôle qui déterminent la courbe.

Les courbes de Bézier — Comparer une construction sans nœud intérieur aux B-splines formées de plusieurs morceaux.