AnalyseNotion · Glossaire
interpolation polynomiale d'Hermite
L'interpolation polynomiale de Hermite est une méthode d'approximation d'une fonction par un polynôme, qui constitue un raffinement de l'interpolation de Lagrange. Là où l'interpolation de Lagrange se contente d'imposer que le polynôme passe par un ensemble de points donnés, l'interpolation de Hermite impose en outre que les valeurs des dérivées — et éventuellement des dérivées d'ordre supérieur — coïncident avec celles de la fonction aux points d'interpolation. Lorsque ces données de dérivées sont fiables, cette contrainte supplémentaire peut améliorer l'approximation ou le raccord local. Elle ne garantit toutefois ni une meilleure précision globale ni la suppression des oscillations de Runge. L'interpolation de Hermite est particulièrement adaptée aux situations où l'on dispose non seulement de valeurs de la fonction, mais aussi d'informations sur sa pente ou sa courbure aux points de mesure.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier les contraintes de valeur, de pente et de courbure à la construction d'un interpolateur.
- Retrouver pas à pas le polynôme P(x)=x³+1 à partir de quatre conditions.
- Distinguer l'interpolation de Hermite de Lagrange, des polynômes orthogonaux de Hermite et des moindres carrés.
- Reconnaître les limites dues au degré, aux dérivées bruitées et au phénomène de Runge.
En clair
Imaginez une route dont on connaît l'altitude en deux bornes. Une droite peut relier ces deux hauteurs, mais elle ignore si la route est plate ou pentue à chaque borne. L'interpolation de Hermite ajoute justement ces indications de pente.
Le polynôme obtenu passe par les valeurs mesurées et prend aussi la bonne direction aux points imposés. Si la courbure ou d'autres dérivées sont connues, elles peuvent également entrer dans la construction.
Définition
L'interpolation polynomiale de Hermite construit un polynôme qui reproduit, en plusieurs points distincts, la valeur d'une fonction et certaines de ses dérivées. Elle raffine ainsi l'interpolation de Lagrange, qui n'impose que les valeurs.
On note xi le point numéro i et mi le plus grand ordre de dérivée fourni en ce point. Le polynôme P doit satisfaire, pour chaque ordre k allant de 0 à mi, . Si les points sont distincts, ces données déterminent un unique polynôme de degré au plus .
Une pente connue correspond à une dérivée première ; une courbure peut fournir une dérivée seconde. Ces contraintes donnent souvent un raccord local plus fidèle qu'avec les seules valeurs. Elles ne garantissent toutefois ni une meilleure approximation partout, ni la disparition des oscillations de Runge lorsque le degré devient élevé.
Un exemple, pas à pas
On cherche un polynôme cubique P entre les abscisses 0 et 1. Les données sont P(0)=1, P'(0)=0, P(1)=2 et P'(1)=3.
1. Écrivons . Les deux conditions en 0 donnent d=1 et c=0.
2. La valeur en 1 donne a+b=1. Comme , la pente en 1 donne 3a+2b=3.
3. Soustrayons deux fois la première équation de la seconde : a=1, puis b=0. Ainsi, .
4. Au milieu de l'intervalle, la valeur interpolée est .
Le contrôle se refait aux extrémités : P(0)=1, P(1)=2, puis P'(0)=0 et P'(1)=3. La courbe associée rend visibles le passage par les deux points et les deux directions imposées.
En pratique
Lorsqu'un capteur fournit une valeur et une vitesse de variation, l'interpolation de Hermite exploite les deux. Une interpolation de Lagrange reste préférable si seules les valeurs sont fiables.
Pour raccorder deux portions de courbe avec une direction imposée à chaque extrémité, on choisit souvent un segment cubique de Hermite. Si de nombreux intervalles doivent être raccordés avec une régularité globale, une spline cubique est généralement plus maniable qu'un unique polynôme de grand degré.
Dans un calcul numérique, il faut d'abord vérifier que les dérivées mesurées sont assez stables. Des pentes très bruitées peuvent dégrader le résultat ; mieux vaut alors les estimer avec prudence ou employer une méthode qui ne les exige pas.
À ne pas confondre
Interpolation de Lagrange. Elle impose seulement les valeurs aux points donnés. Dans l'exemple, la droite de Lagrange passant par (0, 1) et (1, 2) a une pente 1 aux deux extrémités ; elle ne respecte donc pas les pentes 0 et 3.
Polynômes de Hermite. Ce nom désigne aussi une famille de polynômes orthogonaux. Le critère qui tranche est la donnée de départ : ici, on construit un interpolateur à partir de valeurs et de dérivées, pas un membre d'une famille prédéfinie.
Approximation au sens des moindres carrés. Celle-ci cherche un bon ajustement global et peut ne passer par aucun point. L'interpolateur de Hermite, lui, satisfait exactement chaque valeur et chaque dérivée imposées.
Limites et pièges
Degré élevé. Avec deux points portant chacun une valeur et une pente, le degré maximal est 3. Plus généralement, N contraintes conduisent à un degré maximal N−1. Si des oscillations apparaissent entre les points, il faut fractionner l'intervalle et envisager des splines.
Dérivées imprécises. Une petite erreur sur une pente devient une contrainte exacte pour le polynôme. Une courbe qui part dans une direction inattendue signale qu'il faut contrôler ou réestimer les dérivées.
Points confondus sans ordre précisé. Répéter simplement la même abscisse ne fournit pas deux conditions indépendantes. Il faut indiquer explicitement qu'une condition porte sur la valeur et l'autre sur une dérivée.
Runge n'est pas automatiquement supprimé. Ajouter des dérivées peut améliorer le raccord local, mais un interpolateur global de grand degré peut encore osciller aux extrémités. Il faut alors revoir les nœuds ou utiliser une interpolation par morceaux.
Pour aller plus loin
interpolation polynomiale de Lagrange — Pour comparer l'interpolateur fondé sur les seules valeurs avec celui qui impose aussi les dérivées.
Différences divisées — Pour relier la construction de Newton aux données répétées qui codent les dérivées.
spline cubique — Pour passer d'un polynôme global à des morceaux cubiques raccordés avec régularité.
Phénomène de Runge — Pour examiner pourquoi certains interpolateurs de grand degré oscillent près des extrémités.
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