interpolation parabolique

Imaginez trois valeurs relevées à trois instants voisins. Au lieu de relier les points par deux segments droits, on fait passer par eux un même polynôme de degré au plus deux : généralement une parabole, ou une droite si les trois points sont alignés. Sa courbure, lorsqu'elle existe, propose alors des valeurs entre les relevés.

Lorsque les données ne sont pas alignées, cette estimation épouse une variation qui se courbe, ce qu'une droite ne peut pas faire. Elle reste toutefois locale : le polynôme décrit les trois données choisies, pas nécessairement toute la fonction ni son évolution loin de ces points.

L'interpolation parabolique, aussi appelée interpolation quadratique, construit un polynôme de degré au plus deux qui prend trois valeurs données. Les abscisses des trois points doivent être distinctes : cette condition assure l'existence et l'unicité du polynôme. Si les points sont alignés, le résultat existe encore, mais son terme quadratique est nul et sa courbe est une droite.

En notant x l'abscisse et a, b, c des nombres à déterminer, le polynôme s'écrit $p(x)=a{x}^2+bx+cp(x)=ax^2+bx+c$. On impose que p prenne chacune des trois ordonnées aux abscisses correspondantes. Une fois a, b et c trouvés, la valeur p(x) fournit une approximation entre les données. Dans un échantillonnage, on choisit souvent trois points successifs afin de conserver un modèle local.

La méthode est un cas de l'interpolation polynomiale. La forme de Lagrange exprime directement le polynôme passant par un nombre arbitraire de points dont les abscisses sont deux à deux distinctes. L'interpolation de Hermite ajoute des contraintes portant sur des dérivées. Par rapport à l'interpolation linéaire, le degré deux peut mieux restituer une courbure locale, sans garantir une erreur plus faible pour toute fonction et tout choix de points.

On connaît trois points sans unité particulière : A(0 ; 1), B(1 ; 2) et C(2 ; 5). On cherche la valeur interpolée à l'abscisse 1,5 avec un polynôme p de degré au plus deux.

1. Écrivons p sous la forme $p(x)=a{x}^2+bx+cp(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont les coefficients inconnus.

2. Le passage par A, B et C donne le système :

3. La première équation donne c = 1. En la reportant dans les deux autres, on obtient a + b = 1 et 2a + b = 2, donc a = 1 et b = 0. Ainsi, $p(x)=x^2+1p(x)=x^2+1$.

4. À l'abscisse 1,5, le calcul donne $p(\mathrm{1,5})={\mathrm{1,5}}^2+1=\mathrm{3,25}p(1\{,\}5)=1\{,\}5^2+1=3\{,\}25$. Le résultat interpolé est donc 3,25. Le contrôle est refaisable : p(0) = 1, p(1) = 2 et p(2) = 5, exactement les trois données. La figure rend visibles ces passages et la valeur intermédiaire.

Pour estimer une valeur entre trois mesures voisines, on ajuste un polynôme de degré au plus deux — une parabole, ou une droite si les trois mesures sont alignées — puis on l'évalue à l'abscisse recherchée. Si les données paraissent presque alignées ou si deux points seulement sont fiables, l'interpolation linéaire demande moins d'hypothèses.

Dans un calcul numérique, la méthode sert aussi à approcher localement le sommet d'une courbe à partir de trois évaluations. On préfère une méthode qui exploite davantage de points ou des dérivées lorsque ces informations sont disponibles et suffisamment fiables.

Avant d'utiliser le résultat, on contrôle que l'abscisse visée se situe entre les données choisies et que la parabole repasse bien par les trois points. En dehors de leur intervalle, il s'agit d'extrapolation et l'incertitude peut croître rapidement.

Interpolation linéaire. Elle relie deux points par une droite, tandis que l'interpolation parabolique ajuste trois points avec un polynôme de degré au plus deux. Pour A(0 ; 1), B(1 ; 2) et C(2 ; 5), la droite entre B et C vaut 3,5 en 1,5, contre 3,25 pour la parabole.

Régression quadratique. Une interpolation impose le passage exact par les trois données. Une régression quadratique cherche plutôt un ajustement global et peut ne passer par aucun point. Si des résidus non nuls subsistent aux données, on a effectué une régression, pas cette interpolation exacte.

Interpolation de Hermite. Elle peut imposer des valeurs de dérivées en plus des valeurs de la fonction. Trois seules ordonnées à trois abscisses distinctes définissent ici l'interpolation parabolique ; l'ajout d'une pente change le problème et ses contraintes.

Abscisses répétées. Si deux des trois abscisses sont égales avec des ordonnées différentes, aucun polynôme représentant une fonction ne peut passer par les points. Si elles ont la même ordonnée, les trois entrées initiales ne fournissent que deux contraintes de valeur indépendantes. Pour déterminer un unique polynôme de degré au plus deux, il faut trois contraintes indépendantes au total : soit des valeurs en trois abscisses deux à deux distinctes, soit les valeurs aux deux abscisses distinctes déjà connues complétées par une valeur de dérivée appropriée.

Trois points alignés. Le coefficient a vaut alors zéro. Le calcul est valide, mais le résultat est une droite et non une parabole non dégénérée ; il faut l'interpréter comme une interpolation de degré inférieur.

Précision non garantie. Tenir compte d'une courbure ne rend pas automatiquement l'estimation meilleure qu'avec une droite. Une fonction très irrégulière, des mesures bruitées ou des points trop éloignés peuvent produire une courbe trompeuse. Il faut comparer l'erreur sur des données de contrôle ou resserrer l'échantillonnage.

Extrapolation. Dans l'exemple, l'intervalle couvert va exactement de 0 à 2. Une évaluation pour x < 0 ou x > 2 prolonge la parabole hors des données ; elle n'est plus une interpolation et doit être étayée par un modèle du phénomène.

Interpolation linéaire — Pour comparer le modèle à deux points et mesurer concrètement ce que l'ajout d'une courbure change.

Interpolation polynomiale de Lagrange — Pour généraliser la construction à un nombre arbitraire de points d'abscisses distinctes.