AnalyseNotion · Glossaire
interpolation linéaire
L'interpolation linéaire est une méthode d'approximation numérique consistant à remplacer localement une fonction par une fonction affine entre deux points connus. La continuité n'est pas nécessaire à la construction de l'interpolant ; des hypothèses de régularité servent seulement à justifier la qualité de l'approximation. Soient deux points d'abscisses x₀ et x₁, avec les valeurs correspondantes y₀ = f(x₀) et y₁ = f(x₁). Entre ces deux points, on substitue à f la fonction affine g définie par : g(x) = y₀ + (x − x₀) × (y₁ − y₀) / (x₁ − x₀). Si la fonction est deux fois dérivable sur l'intervalle et que la valeur absolue de sa dérivée seconde y reste majorée par une constante M, l'erreur est bornée par une quantité proportionnelle à M et au carré de la distance entre x₀ et x₁ ; la proximité seule ne suffit pas. L'interpolation linéaire constitue la base de la méthode des trapèzes pour le calcul numérique d'intégrales. Elle a longtemps été utilisée avec les tables de valeurs numériques — tables de logarithmes ou tables trigonométriques — pour affiner les résultats entre deux entrées successives du tableau, avant que les moyens de calcul modernes ne la rendent moins nécessaire.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter géométriquement l'interpolation entre deux points connus.
- Appliquer la formule à une estimation numérique pas à pas.
- Distinguer interpolation, extrapolation et régression linéaire.
- Repérer l'effet de la courbure, d'une rupture et de deux abscisses identiques.
- Relier l'interpolation linéaire à la méthode des trapèzes.
En clair
À 10 h, un thermomètre indique 14 °C ; à 13 h, il indique 20 °C. Pour estimer la température à 11 h, on imagine que la hausse s'est faite régulièrement entre les deux mesures. Une heure représente un tiers des trois heures écoulées, donc on ajoute un tiers de la hausse de 6 °C : l'estimation est 16 °C.
L'interpolation linéaire est ce geste : relier deux valeurs connues par un segment droit, puis lire une valeur située entre elles.
Définition
L'interpolation linéaire construit entre deux points connus la fonction affine dont le graphe est une droite et dont la restriction à l'intervalle entre les deux abscisses est le segment qui les joint. Elle peut servir à approximer une fonction entre ces points ; la continuité est alors une hypothèse éventuelle sur cette fonction, et non une condition nécessaire à la construction. On note x0 et x1 les deux abscisses distinctes, puis y0 = f(x0) et y1 = f(x1) les valeurs correspondantes. Pour une abscisse x comprise entre x0 et x1, la valeur interpolée g(x) est donnée par :
Le quotient (x − x0) / (x1 − x0) mesure la position de x dans l'intervalle : il vaut 0 au premier point et 1 au second. Si la fonction est deux fois dérivable sur l'intervalle et que la valeur absolue de sa dérivée seconde y reste majorée par une même constante, la borne classique de l'erreur est proportionnelle au carré de la distance entre les deux abscisses ; la proximité seule ne garantit pas une meilleure approximation. Elle ne prétend pas reproduire une forte courbure ou une rupture cachée entre les données. La même construction affine sert de base à la méthode des trapèzes, qui remplace localement une courbe par un segment afin d'approcher une intégrale.
Un exemple, pas à pas
Une température a été relevée à 10 h puis à 13 h. Nous cherchons l'estimation à 11 h en supposant une variation régulière entre les deux relevés.
Données. La première heure est x0 = 10 h et sa température y0 = 14 °C. La seconde est x1 = 13 h avec y1 = 20 °C. L'heure visée est x = 11 h.
Étape 1. La position de 11 h dans l'intervalle est (11 − 10) / (13 − 10) = 1 / 3.
Étape 2. La hausse totale observée vaut 20 − 14 = 6 °C.
Étape 3. On ajoute à 14 °C un tiers de cette hausse.
Étape 2. La hausse totale observée vaut 20 − 14 = 6 °C.
Étape 3. On ajoute à 14 °C un tiers de cette hausse.
La température interpolée à 11 h est donc 16 °C. Le contrôle est direct : à raison de 2 °C par heure, une heure après 10 h donne 14 + 2 = 16 °C, puis les deux heures restantes conduisent à 20 °C. Le segment reliant les deux mesures rend visibles cette pente constante et la position du point estimé.
En pratique
Dans une table numérique, on repère les deux entrées qui encadrent la valeur cherchée, puis on partage l'écart proportionnellement à sa position. Cette interpolation convient lorsque les entrées sont proches et la variation régulière ; une table plus fine est préférable si les écarts changent nettement.
Pour des mesures prises à des instants séparés, on relie deux relevés voisins et on lit une estimation intermédiaire, comme les 16 °C à 11 h. Si les données révèlent un saut ou un changement brutal, il faut mesurer davantage plutôt que tracer un segment à travers la rupture.
Pour approcher une intégrale, la méthode des trapèzes remplace chaque petit morceau de courbe par le segment interpolant et calcule la contribution algébrique du trapèze obtenu. Une courbe très incurvée demande des intervalles plus étroits plutôt qu'un seul grand trapèze.
À ne pas confondre
Interpolation et extrapolation. Une interpolation estime une valeur dont l'abscisse se trouve entre les deux abscisses connues. Estimer la température à 14 h avec les seuls relevés de 10 h et 13 h serait une extrapolation, car 14 h est hors de l'intervalle.
Interpolation linéaire et régression linéaire. Avec deux points d'abscisses distinctes, l'interpolant passe exactement par les deux valeurs connues. Une droite de régression résume généralement plusieurs données et peut ne passer exactement par aucune d'elles. Selon l'objectif, le bruit et la dispersion, une régression peut être préférable avec de nombreuses mesures ; une interpolation par morceaux reste toutefois possible lorsqu'on veut passer exactement par les données.
Fonction affine et fonction linéaire. L'interpolant a la forme ax + b et ne passe pas nécessairement par l'origine : c'est une fonction affine. Dans l'exemple, la droite passant par (10 ; 14) et (13 ; 20) n'est pas une fonction linéaire au sens strict, malgré le nom usuel de la méthode.
Limites et pièges
Deux abscisses identiques. Si x0 = x1, le dénominateur x1 − x0 vaut 0 et la formule est impossible à calculer. Il faut deux abscisses distinctes, ou traiter les deux relevés comme des mesures répétées au même point.
Courbure entre les points. Le segment est exact aux deux extrémités, mais il peut s'écarter de la fonction au milieu. L'erreur dépend de la courbure, de la largeur de l'intervalle et de la position considérée ; elle ne croît pas nécessairement avec la largeur. Sous des hypothèses de régularité usuelles, rapprocher les points tend à la réduire ; sinon, il faut choisir une approximation adaptée à la courbure.
Rupture masquée. Deux valeurs compatibles avec une pente régulière ne garantissent pas que la grandeur a varié sans saut entre elles. Si le phénomène peut changer brutalement, des mesures supplémentaires doivent localiser la rupture ; le segment ne doit pas être interprété comme une observation.
Valeur hors intervalle. Dès que x est inférieur au plus petit point connu ou supérieur au plus grand, la formule prolonge la droite au lieu d'interpoler. Le résultat devient une extrapolation et exige une hypothèse supplémentaire sur la poursuite de la tendance.
Pour aller plus loin
fonction affine — Revoir pourquoi l'interpolant a une pente constante et ne passe pas nécessairement par l'origine.
méthode des trapèzes — Relier les segments interpolants au calcul approché d'une aire sous une courbe.
Approcher une fonction et épouser sa courbe — Comparer l'interpolation linéaire à d'autres façons d'approcher le tracé d'une fonction.
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