méthode de Simpson

Imaginez une courbe et la surface comprise entre cette courbe et l’axe horizontal. Pour estimer cette surface, on relève la hauteur de la courbe en trois points régulièrement espacés. La méthode de Simpson fait passer une parabole par ces trois points, puis calcule la surface sous cet arc.

Une parabole épouse souvent mieux une courbe arrondie qu’un rectangle ou un segment. En répétant ce procédé deux intervalles à la fois, on approche l’intégrale sur toute la longueur étudiée.

La méthode de Simpson est une formule de quadrature numérique pour approcher l’intégrale définie d’une fonction sur un intervalle fermé. Elle remplace localement la fonction par le polynôme de degré au plus 2 qui prend les mêmes valeurs aux deux extrémités et au milieu de l’intervalle. L’intégrale de cette parabole fournit alors l’approximation.

Dans sa forme composée, l’intervalle allant de la borne a à la borne b est découpé en un nombre pair n de morceaux de même largeur. Cette largeur est notée h, et les points régulièrement espacés sont notés x₀, x₁, …, x_n. Les valeurs situées aux points d’indice impair reçoivent le coefficient 4 ; celles des points intérieurs d’indice pair reçoivent le coefficient 2 ; les deux extrémités reçoivent le coefficient 1.

La formule donne exactement l’intégrale de tout polynôme de degré inférieur ou égal à 3, même si son interpolation locale n’emploie qu’un polynôme de degré 2. Pour une fonction plus générale, le résultat est une approximation dont la qualité dépend du découpage et de la régularité de la fonction.

Soit une fonction f à intégrer de a à b. Choisissez un nombre pair n de morceaux égaux, posez leur largeur h = (b − a)/n, puis notez x_i = a + ih le point d’indice i. L’approximation composée de Simpson est :

Le calcul s’arrête après avoir additionné toutes les valeurs pondérées et multiplié la somme par h/3.

La règle composée s’applique à une fonction dont on connaît les valeurs sur un intervalle [a, b]. Les points doivent être régulièrement espacés, et le nombre n de morceaux doit être pair, car chaque parabole utilise deux morceaux consécutifs et trois points. Le résultat approche l’intégrale définie sur tout l’intervalle.

Une courbe suffisamment régulière est nécessaire pour attendre une bonne précision : un saut, une pointe ou une oscillation manquée entre deux points peut dégrader fortement l’estimation. Si les mesures sont irrégulièrement espacées, la formule composée standard ne s’emploie pas telle quelle ; il faut adapter l’interpolation ou choisir une quadrature compatible avec ces données. Avec un nombre impair de morceaux, il faut modifier le découpage ou traiter le morceau restant par une autre règle.

On cherche l’intégrale de la fonction f définie par f(x) = x³ entre 0 et 2. Les données sont les bornes a = 0 et b = 2, deux morceaux égaux, donc n = 2, et trois points x₀ = 0, x₁ = 1 et x₂ = 2.

Le dessin de la courbe cubique et de sa parabole interpolatrice rend visible leur passage par les trois mêmes points, sans exiger qu’elles coïncident entre ces points.

1. La largeur vaut h = (2 − 0)/2 = 1.
2. Les valeurs sont f(0) = 0, f(1) = 1 et f(2) = 8.
3. La somme pondérée vaut 0 + 4 × 1 + 8 = 12.
4. La formule donne S₂ = (1/3) × 12 = 4.

Le résultat est exactement 4 unités d’aire. Pour le contrôler, une primitive de x³ est x⁴/4 : sa variation entre 0 et 2 vaut 2⁴/4 − 0 = 4. L’accord est exact, comme prévu pour un polynôme de degré 3.

Pour intégrer une fonction calculable, on choisit un nombre pair de morceaux, on évalue la fonction aux points régulièrement espacés, puis on applique les coefficients 1, 4, 2, 4, …, 2, 4, 1. Si le résultat change encore beaucoup quand on affine le découpage, il faut augmenter le nombre de morceaux.

Pour des valeurs mesurées à intervalles réguliers, Simpson exploite les triplets successifs. Lorsque les abscisses ne sont pas régulièrement espacées, la méthode des trapèzes ou une interpolation adaptée est préférable à l’application forcée de la formule standard.

Pour vérifier un programme de calcul, on peut tester d’abord des polynômes de degré 0, 1, 2 et 3. La moindre différence avec leur intégrale exacte révèle alors une erreur dans le pas, les indices ou les coefficients.

Avec la méthode des trapèzes. Celle-ci relie deux points par un segment, tandis que Simpson ajuste une parabole sur trois points régulièrement espacés. Sur le triplet 0, 1, 2 de l’exemple, on emploie Simpson lorsque l’on intègre cette interpolation quadratique avec les poids 1, 4, 1 ; le seul passage d’un arc par les trois points ne suffit pas à caractériser la méthode.

Avec Robert Simson. La méthode porte le nom de Thomas Simpson, avec un « p », mathématicien anglais né en 1710 et mort en 1761. Robert Simson s’écrit sans « p » : la proximité des deux noms ne doit pas conduire à lui attribuer cette formule.

« Plus précise » n’est pas une garantie universelle. L’avantage sur les rectangles ou les trapèzes concerne les fonctions assez régulières et des découpages comparables. Un saut ou une oscillation située entre les points échantillonnés peut rester invisible ; il faut alors découper davantage ou placer des points autour de l’irrégularité.

Un nombre impair de morceaux bloque la règle composée standard. Avec 5 morceaux, le dernier ne peut pas appartenir à une paire complète. Il faut choisir un nombre pair, par exemple 6, ou appliquer une autre règle au morceau restant.

L’exactitude au degré 3 ne signifie pas une interpolation cubique. La parabole est toujours de degré au plus 2. Dans l’exemple, elle diffère de x³ entre les trois points, mais les deux aires sont égales sur [0, 2].

Des abscisses inégalement espacées changent les poids. Les coefficients 1, 4, 1 supposent que le point central est au milieu des deux bornes. Si ce n’est pas le cas, il faut recalculer l’interpolation plutôt que conserver ces coefficients.

méthode des trapèzes — Comparez l’approximation par segments à l’approximation par paraboles et repérez les données nécessaires à chaque calcul.

interpolation polynomiale de Lagrange — Voyez comment construire le polynôme qui passe par des points imposés, principe algébrique au cœur de Simpson.