quadrature arithmétique

Imaginez une courbe dont vous voulez connaître l'aire située entre deux abscisses. Au lieu de mesurer directement cette surface, vous la recouvrez de petits rectangles ou de trapèzes. Plus ces formes sont fines, plus leur aire totale peut approcher celle qui se trouve sous la courbe.

Cette façon de calculer une intégrale définie est une quadrature arithmétique. Les rectangles, les trapèzes et la méthode de Simpson proposent des recettes différentes pour obtenir une approximation numérique.

Au sens moderne, une quadrature arithmétique est une méthode d'analyse numérique qui approche la valeur d'une intégrale définie. Si la fonction est représentée par une courbe, cette intégrale représente l'aire algébrique située entre la courbe et l'axe des abscisses sur un intervalle donné. L'aire géométrique et l'intégrale coïncident lorsque la fonction reste positive sur cet intervalle.

Pour construire l'approximation, on choisit des points de l'intervalle et l'on remplace la courbe par des formes plus simples. La méthode des rectangles utilise des hauteurs prises sur chaque sous-intervalle. La méthode des trapèzes relie les valeurs aux deux extrémités par un segment. La méthode de Simpson remplace localement la courbe par une parabole. Le résultat dépend donc de la fonction, de l'intervalle, des points choisis et de la méthode.

Pour la fonction f sur l'intervalle [a,b], l'intégrale exacte est notée ${\int }_a^{b}f(x)dx\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dx$. Une quadrature fournit une valeur approchée en combinant plusieurs valeurs de f. Elle ne doit pas être confondue avec la quadrature antique, qui cherchait à construire un carré de même aire qu'une surface.

On veut approcher l'intégrale de la fonction f définie par f(x)=x² entre 0 et 2, avec la méthode des trapèzes et deux sous-intervalles de même largeur. L'aire cherchée est positive sur cet intervalle.

Données : borne gauche a=0 ; borne droite b=2 ; nombre de sous-intervalles n=2 ; largeur d'un sous-intervalle h=(2−0)/2=1 ; valeurs f(0)=0, f(1)=1 et f(2)=4.

1. Les points de découpage sont 0, 1 et 2.
2. Le premier trapèze a pour aire (1/2)×(0+1)=0,5.
3. Le second trapèze a pour aire (1/2)×(1+4)=2,5.
4. La somme donne 0,5+2,5=3.

La quadrature des trapèzes fournit donc une approximation égale à 3 unité(s) d'aire. Un contrôle exact par une primitive donne ${\int }_0^2{x}^{2}dx=\frac{8}{3}\approx \mathrm{2,67}\backslash int\_0^2\; x^2\backslash ,dx=\backslash frac\{8\}\{3\}\backslash approx2\{,\}67$ : l'écart vient du remplacement de la courbe par deux segments, et non d'une égalité entre l'approximation et l'intégrale.

Lorsqu'une intégrale doit être évaluée numériquement, on choisit des points dans l'intervalle et une règle de quadrature. Le geste consiste ensuite à calculer les valeurs de la fonction en ces points, puis à les combiner selon la règle choisie.

La méthode des rectangles convient pour une première estimation visuelle. La méthode des trapèzes est naturelle lorsque l'on dispose de valeurs aux deux extrémités de chaque intervalle, car elle relie ces valeurs par des segments.

La méthode de Simpson intervient comme autre recette de quadrature lorsque l'on veut approximer localement la courbe par une parabole. Le choix observable porte alors sur la forme retenue et sur les valeurs disponibles, pas seulement sur le nom de la méthode.

La quadrature arithmétique ne se confond pas avec la quadrature antique. Dans le premier cas, le résultat recherché est une valeur numérique approchée d'une intégrale. Dans le second, il s'agit de construire géométriquement un carré de même aire qu'une surface. Une liste de rectangles ou de trapèzes calculés tranche en faveur du sens moderne ; une construction à la règle et au compas relève du sens antique.

Elle ne se confond pas non plus avec une intégrale exacte. Une quadrature numérique produit généralement une approximation obtenue à partir de valeurs échantillonnées, tandis qu'une intégrale exacte est la valeur mathématique définie par le problème. Dans l'exemple, 3 et 8/3 ne sont donc pas deux écritures du même résultat.

Si la courbe passe sous l'axe des abscisses, l'intégrale est algébrique : les portions négatives se soustraient. Additionner toutes les aires géométriques donne alors une autre grandeur. Il faut donc vérifier le signe de la fonction avant d'interpréter la quadrature comme une aire totale.

Une quadrature n'est pas automatiquement exacte parce que les points sont nombreux. Dans l'exemple f(x)=x² sur [0,2], deux trapèzes donnent 3 alors que la valeur exacte vaut 8/3, soit environ 2,67. Pour réduire l'erreur, on peut raffiner le découpage ou choisir une autre méthode ; le gain dépend de la fonction et de la règle employée.

La quadrature du cercle appartient au sens antique évoqué par la source. Son impossibilité concerne la construction exacte d'un carré de même aire à la règle et au compas, et non l'approximation numérique de l'aire d'un cercle.

Pour comparer directement les trois recettes citées dans la fiche, consultez la méthode des rectangles : vous y gagnerez un repère pour comprendre comment le choix des hauteurs construit l'approximation.

La méthode des trapèzes détaille la règle utilisée dans l'exemple, tandis que la méthode de Simpson permet de comparer le remplacement par des segments avec celui par des paraboles.

Pour retrouver le sens géométrique et historique du mot, la fiche consacrée à la quadrature du cercle met en perspective la recherche d'un carré de même aire et sa limite de construction exacte.