quadrature - géométrie -

Imaginez un rectangle de 9 cm sur 4 cm découpé dans du papier. Il couvre 36 cm². Le quadrer revient à construire un carré qui couvre exactement ces mêmes 36 cm², même si sa forme et son périmètre diffèrent. Ce carré a un côté de 6 cm.

Le mot a conservé l'idée de ramener une aire à une forme ou à un nombre connu. Dans son emploi moderne, une quadrature peut ainsi déterminer l'aire sous une courbe au moyen d'une intégrale définie.

La quadrature d'une figure plane est la recherche d'un carré de même aire. Notons S l'aire de la figure et c la longueur du côté du carré. Ces deux grandeurs vérifient :La racine retenue est non négative, car c est une longueur. L'égalité des aires ne signifie ni que les figures sont superposables, ni qu'elles ont le même périmètre.

Au sens antique, le problème ne demandait pas seulement de calculer c. Il fallait construire le carré à la règle non graduée et au compas, à partir de la figure donnée. Pour un rectangle de côtés a et b, la construction de la moyenne proportionnelle fournit un segment de longueur √(ab), qui devient le côté du carré équivalent. Toutes les figures ne sont pas quadrables sous ces contraintes : la quadrature du cercle en est le cas célèbre impossible.

Dans l'usage moderne, « quadrature » s'étend à la détermination d'une aire et au calcul d'une intégrale définie. Selon la fonction, ce calcul peut donner une valeur exacte ou une approximation numérique. Une intégrale signée n'est toutefois une aire géométrique que lorsque le signe de la fonction et l'intervalle étudié sont pris en compte.

Construisons le carré équivalent à un rectangle de 9 cm sur 4 cm. La figure de construction montre comment les longueurs données déterminent le nouveau côté.

Données :
longueur du rectangle : 9 cm ;
largeur du rectangle : 4 cm ;
construction : règle non graduée et compas.

1. L'aire du rectangle vaut 9 × 4 = 36 cm².
2. Sur une droite, placer bout à bout les segments AB = 9 cm et BD = 4 cm ; ainsi, AD = 13 cm.
3. Tracer le demi-cercle de diamètre AD, puis la perpendiculaire à AD passant par B. Elle rencontre le demi-cercle en C.
4. Le triangle ACD est rectangle en C. La relation de la hauteur donne :La longueur BC vaut donc 6 cm.

Le carré construit sur BC a pour aire 6 × 6 = 36 cm² : il réalise la quadrature du rectangle. Le contrôle est refaisable en comparant ce résultat à l'aire initiale, 9 × 4 = 36 cm².

Pour quadrer un rectangle avec les instruments classiques, construisez la moyenne proportionnelle de ses deux côtés. Un calcul direct de √(ab) est préférable si seul le côté du carré équivalent est recherché, sans exigence de construction géométrique.

Pour une figure composée de formes usuelles, décomposez-la et additionnez ou retranchez leurs aires avant de prendre la racine carrée du total. Une intégrale définie devient l'outil adapté lorsque la frontière est décrite par une courbe et que l'aire se lit entre cette courbe et un axe.

Pour une intégrale sans calcul exact disponible, une formule de quadrature numérique remplace l'aire cherchée par une somme pondérée de valeurs de la fonction. Il faut alors annoncer qu'il s'agit d'une approximation et contrôler sa précision, plutôt que présenter le résultat comme une construction exacte.

La quadrature d'une figure est le problème général de construction d'un carré équivalent. La quadrature du cercle en est un cas particulier : la figure initiale est un disque. Le rectangle de 9 cm sur 4 cm se quadrature à la règle et au compas, contrairement au cercle sous les mêmes contraintes classiques.

Quadrer une figure ne signifie pas élever un nombre au carré. Dans le premier cas, on part d'une aire S pour chercher une longueur √S ; dans le second, on part d'un nombre x pour calculer x². Avec S = 36 cm², la quadrature cherche 6 cm, tandis que le carré de 36 vaut 1 296.

Même aire ne signifie pas même contour. Le rectangle conducteur a un périmètre de 2 × (9 + 4) = 26 cm, tandis que le carré équivalent a un périmètre de 4 × 6 = 24 cm. Il faut comparer les aires, pas les périmètres ni l'apparence.

Une intégrale définie peut être signée. Une portion située sous l'axe contribue négativement au résultat algébrique. Si l'objectif est l'aire géométrique totale, il faut découper l'intervalle aux changements de signe et additionner les aires positives, au lieu de laisser des zones se compenser.

Une quadrature numérique n'est pas automatiquement exacte. Le symptôme est une valeur décimale qui varie avec le nombre de points ou le pas choisi. Il faut indiquer le caractère approché du résultat et estimer l'erreur avec la méthode employée.

Le cas S = 0 est dégénéré. La formule donne c = 0 : le « carré » est réduit à un point et n'est pas un carré ordinaire de côté positif. Une aire négative ne peut pas être celle d'une figure plane ; elle signale plutôt une grandeur orientée ou un calcul signé.

La méthode d'exhaustion prolonge l'idée de déterminer une aire en l'encadrant par des figures de mieux en mieux ajustées.

L'article Mesurer des aires élargit la réflexion aux méthodes utilisées pour comparer et calculer des surfaces.

La fiche quadrature graphique présente une autre manière de déterminer une aire par une construction graphique.