quadrature d'un rectangle

Imaginez une feuille rectangulaire de 8 cm sur 2 cm. La quadrature transforme cette forme en un carré qui couvre exactement la même surface, sans mesurer son côté avec une règle graduée. La règle non graduée sert à tracer les droites et le compas à reporter les longueurs.

Le demi-cercle fait apparaître une longueur de 4 cm. Construire un carré sur ce segment conserve donc l'aire de 16 cm², même si la forme change.

La quadrature d'un rectangle est la construction, à la règle et au compas, d'un carré dont l'aire égale celle du rectangle donné. Dans la présentation des Éléments d'Euclide, Livre II, proposition XIV, le rectangle ABCD vérifie AB > BC. On prolonge le côté AB jusqu'au point M de façon que BM ait la même longueur que BC. Le point O est le milieu du segment AM ; le demi-cercle de centre O passant par A a donc AM pour diamètre.

La droite passant par B et C rencontre le demi-cercle en H. Comme cette droite est perpendiculaire à AM, la hauteur BH du triangle rectangle AHM est une moyenne géométrique des longueurs AB et BM : $B{H}^2=AB\times BM=AB\times BCBH^2=AB\backslash times\; BM=AB\backslash times\; BC$. Le carré construit sur BH possède ainsi la même aire que le rectangle ABCD.

Cette égalité d'aires, et non une ressemblance des contours, définit le carré équivalent. La condition AB > BC fixe ici la disposition décrite par la source ; l'identité repose surtout sur des longueurs de côtés positives et sur la perpendicularité en B.

On part d'un rectangle ABCD dont le côté AB mesure 8 cm et le côté BC mesure 2 cm. Le point M prolonge AB avec BM = 2 cm. Le segment AM mesure donc 10 cm, son milieu O est à 5 cm de A et le demi-cercle a un rayon de 5 cm. La construction correspondante rend visibles le rectangle, le demi-cercle, la hauteur BH et le carré final.

1. Prolongez [AB] au-delà de B et reportez la longueur BC à partir de B pour placer M, de sorte que BM = BC. Construisez le milieu O de [AM], puis tracez le demi-cercle de diamètre AM et la perpendiculaire à AM passant par B ; elle rencontre le demi-cercle en H.

2. La propriété de la hauteur issue de l'angle droit donne $B{H}^2=AB\times BM=8\times 2=16BH^2=AB\backslash times\; BM=8\backslash times2=16$.

3. Comme BH est une longueur positive, BH = 4 cm. Construisez alors le carré ayant BH pour côté.

4. Le contrôle est direct : le rectangle a pour aire 8 × 2 = 16 cm², et le carré a pour aire 4 × 4 = 16 cm². Les deux aires coïncident exactement.

En construction géométrique, cette méthode remplace un rectangle donné par un carré de même aire. Elle convient lorsque les longueurs doivent être reportées à la règle non graduée et au compas ; un calcul numérique est plus direct si seules les dimensions sont demandées.

Pour contrôler un tracé, on vérifie que BM reproduit bien BC, que O est le milieu de AM et que BH est perpendiculaire à AM. Si l'une de ces conditions manque, l'égalité des aires n'est plus garantie.

Lorsque les mesures sont connues, la longueur du côté du carré se calcule comme la moyenne géométrique des deux côtés du rectangle. La construction au demi-cercle reste utile pour voir pourquoi ce résultat est exact.

Quadrature du cercle. Elle demande un carré de même aire qu'un disque, tandis que la quadrature d'un rectangle part de deux côtés rectilignes. Avec la règle et le compas, le rectangle se traite par la moyenne géométrique décrite ici ; le problème du cercle est une autre notion.

Carré inscrit dans le rectangle. Un carré inscrit doit tenir à l'intérieur du rectangle ; le carré équivalent doit seulement avoir la même aire. Pour un rectangle de 8 cm sur 2 cm, le carré équivalent a un côté de 4 cm et ne peut donc pas être contenu dans le rectangle.

Côtés intervertis. L'hypothèse AB > BC appartient à la disposition donnée dans la source. Si BC est le côté le plus long, on peut d'abord renommer les côtés ; le produit des deux longueurs, donc le côté du carré équivalent, ne change pas.

Rectangle déjà carré. Au seuil AB = BC, le carré équivalent a le même côté que la figure initiale. La quadrature reste cohérente, mais la transformation n'apporte aucune nouvelle forme.

Longueur nulle. Si un côté vaut 0, l'aire vaut 0 et BH s'annule. On n'obtient pas un carré ordinaire, mais une figure dégénérée ; il faut réserver la construction à deux longueurs strictement positives.

Tracé seulement approximatif. Sur papier, une perpendiculaire ou un report de longueur imparfait produit des aires proches, mais pas nécessairement égales. L'égalité est exacte pour la construction géométrique idéale.

La moyenne géométrique explique algébriquement pourquoi la hauteur BH devient le côté du carré équivalent.

La fiche Euclide situe l'auteur auquel est rattachée la construction dans les Éléments.

L'article La règle et le compas dans l'enseignement prolonge la réflexion sur les instruments employés par cette construction.