AnalyseNotion · Glossaire
moyenne géométrique
La moyenne géométrique de n nombres réels strictement positifs est la racine n-ième de leur produit ; pour deux nombres a et b, elle vaut √(ab). Elle fournit une valeur centrale multiplicative, particulièrement adaptée aux taux de croissance et aux variations successives, dont elle donne le facteur moyen constant.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la racine du produit à l'aire d'un rectangle et d'un carré.
- Calculer la moyenne géométrique de deux nombres par un exemple contrôlable.
- Employer des facteurs multiplicatifs pour résumer des variations successives.
- Reconnaître les cas où zéro, les valeurs négatives ou les pourcentages bruts posent problème.
En clair
Imaginez un rectangle dont les côtés mesurent 144 et 25 unités. Son aire vaut 3 600 unités carrées. Un carré de même aire a un côté de 60 unités, car 60 × 60 = 3 600. Ce nombre 60 est la moyenne géométrique de 144 et 25.
Elle cherche donc une valeur centrale multiplicative : le rapport de 144 à 60 est le même que celui de 60 à 25. Cette idée convient aux changements successifs, où les valeurs se multiplient au lieu de simplement s'additionner.
Définition
Pour deux nombres réels strictement positifs, notés a et b, leur moyenne géométrique est l'unique nombre positif, noté g, dont le carré est leur produit. Elle est aussi appelée moyenne proportionnelle, car les trois nombres a, g et b forment une suite géométrique.
Pour une liste de n nombres strictement positifs x1, …, xn, la définition devient la racine n-ième de leur produit : . La stricte positivité garantit que cette valeur réelle positive et les logarithmes utilisés pour l'étudier sont bien définis.
Le logarithme de g est la moyenne arithmétique des logarithmes des valeurs. Cette propriété explique son usage pour les facteurs de croissance successifs. Pour une même série positive, si h, g, m et q désignent respectivement les moyennes harmonique, géométrique, arithmétique et quadratique, alors .
Un exemple, pas à pas
On veut remplacer un rectangle de côtés 144 et 25 unités par un carré de même aire.
Données : premier côté : 144 unités ; second côté : 25 unités.
Données : premier côté : 144 unités ; second côté : 25 unités.
1. On calcule l'aire du rectangle : 144 × 25 = 3 600 unités carrées.
2. On cherche la longueur positive dont le carré vaut 3 600.
3. On prend la racine carrée : .
2. On cherche la longueur positive dont le carré vaut 3 600.
3. On prend la racine carrée : .
La moyenne géométrique de 144 et 25 est donc exactement 60. Le carré recherché a un côté de 60 unités.
Le contrôle peut se refaire de deux manières : 60 × 60 = 3 600, et les rapports sont égaux, puisque 144 ÷ 60 = 60 ÷ 25 = 2,4. La construction compare ces deux figures à la même échelle : leurs formes diffèrent, mais leurs aires coïncident.
En pratique
Pour résumer des variations successives, on transforme chaque pourcentage en facteur multiplicatif, puis on calcule leur moyenne géométrique. Le facteur obtenu donne le même résultat final s'il est appliqué à chaque période.
Pour comparer des nombres qui se combinent par multiplication, la moyenne géométrique est préférable à la moyenne arithmétique. Le critère observable est le mode de composition : facteurs successifs pour la première, quantités additives pour la seconde.
En géométrie, elle fournit le côté du carré ayant la même aire qu'un rectangle donné. Avec les côtés 144 et 25, ce côté commun vaut 60 unités.
À ne pas confondre
Moyenne arithmétique. Elle additionne les valeurs puis divise par leur nombre, tandis que la moyenne géométrique multiplie les valeurs puis prend une racine. Pour 144 et 25, la première vaut 84,5 et la seconde vaut 60 : le calcul tranche nettement.
Suite géométrique. Une suite géométrique est une succession de termes obtenus avec un rapport constant. La moyenne géométrique est un nombre : entre 144 et 25, elle fournit le terme intermédiaire 60, car les deux rapports valent 2,4.
Limites et pièges
Zéro. La définition retenue ici porte sur des nombres strictement positifs. Si une valeur vaut 0, son logarithme n'existe pas et la relation de proportion contenant une division peut devenir impossible. Il faut signaler ce cas au lieu d'appliquer sans précaution la formule logarithmique.
Valeur négative. Avec des données négatives, la racine du produit ne suffit pas à définir la moyenne géométrique réelle positive de la source. Le symptôme est une racine paire sans valeur réelle ou une ambiguïté de signe. Il faut revenir au domaine strictement positif.
Pourcentages successifs. Faire directement la moyenne géométrique de pourcentages signés est un mauvais geste. Une hausse de 20 % devient le facteur 1,20 et une baisse de 20 % devient le facteur 0,80. Leur produit vaut 0,96, et non 1 : il faut moyenner les facteurs, puis reconvertir le résultat en taux.
Pour aller plus loin
La moyenne arithmétique aide à choisir la moyenne adaptée selon que les données s'additionnent ou se multiplient.
La suite géométrique prolonge l'idée de rapport constant qui donne son autre nom à la moyenne proportionnelle.
La moyenne harmonique situe la moyenne géométrique dans l'ordre classique des moyennes positives.
La moyenne quadratique complète la chaîne d'inégalités et montre l'effet d'un poids accru des grandes valeurs.
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