coefficient multiplicateur

Un prix de 80 € augmente de 25 %. Pour trouver le nouveau prix, on multiplie 80 par 1,25 : on obtient 100 €. Le nombre 1,25 est le coefficient multiplicateur de cette hausse. Il rassemble en un seul facteur le prix initial, représenté par 1, et le quart ajouté, représenté par 0,25.

Si les 100 € diminuent ensuite de 20 %, le coefficient est 0,80. La multiplication ramène alors le prix à 80 €. Un coefficient supérieur à 1 augmente une quantité positive ; entre 0 et 1, il la diminue.

Le coefficient multiplicateur est le facteur qui transforme une valeur initiale en une valeur finale par multiplication. Notons V_i la valeur initiale, V_f la valeur finale et c le coefficient. La relation est $V_f=c{V}_{i}V\_f=cV\_i$. Si V_i n'est pas nulle, le coefficient se calcule par $c=\frac{V_f}{V_i}c=\backslash frac\{V\_f\}\{V\_i\}$. Il est sans unité lorsque les deux valeurs expriment la même grandeur dans la même unité.

Pour un taux d'évolution t écrit sous forme décimale, le coefficient vaut $c=1+tc=1+t$. Une hausse de 25 % donne ainsi t = 0,25 et c = 1,25. Pour une baisse de 20 %, t = −0,20 et c = 0,80. Lorsque la valeur initiale est positive, le signe du taux indique le sens de la variation, tandis que le coefficient est le facteur effectivement appliqué.

Des évolutions successives se composent en multipliant leurs coefficients. Le coefficient global de la hausse de 25 % puis de la baisse de 20 % vaut donc 1,25 × 0,80 = 1. Pour retrouver une valeur initiale à partir d'une valeur finale, on divise par c, à condition que c ne soit pas nul.

Un article coûte d'abord 80 €. Son prix augmente de 25 %, puis le nouveau prix diminue de 20 %. Les données sont donc le prix initial de 80 €, le taux de hausse de 25 % et le taux de baisse de 20 %.

1. Convertir la hausse en coefficient : 25 % = 0,25, donc 1 + 0,25 = 1,25.

2. Appliquer ce coefficient au prix initial : 80 € × 1,25 = 100 €.

3. Convertir la baisse en coefficient : 20 % = 0,20, donc 1 − 0,20 = 0,80.

4. Appliquer la baisse au nouveau prix : 100 € × 0,80 = 80 €. Le prix final est exactement 80 €.

Le contrôle consiste à multiplier directement les deux coefficients : 1,25 × 0,80 = 1. Le coefficient global vaut 1, donc 80 € × 1 = 80 €. La représentation des trois prix rend visible ce retour à la valeur initiale.

Pour appliquer une hausse ou une baisse en pourcentage, on multiplie directement la valeur de départ par le coefficient associé. Si l'on cherche seulement l'écart en euros, une soustraction entre valeur finale et valeur initiale est plus adaptée.

Pour plusieurs évolutions successives, on multiplie leurs coefficients afin d'obtenir un facteur global. Additionner les taux ne convient que dans certains cas particuliers ; le produit reste le calcul exact.

Pour retrouver la valeur de départ, on divise la valeur finale par le coefficient non nul. Si les deux valeurs sont déjà connues et que l'on cherche seulement la variation absolue, leur différence suffit.

Coefficient multiplicateur et taux d'évolution. Le taux mesure la variation relativement à la valeur initiale ; le coefficient est le facteur appliqué à cette valeur. Pour une hausse de 25 %, le taux est 25 %, soit 0,25, tandis que le coefficient est 1,25.

Variation relative et variation absolue. La variation relative compare l'écart à la valeur initiale, alors que la variation absolue est une différence dans l'unité de la grandeur. De 80 € à 100 €, elles valent respectivement 25 % et 20 €.

Valeur initiale nulle. Le quotient V_f/V_i n'est pas défini lorsque V_i = 0. Une évolution en pourcentage à partir de zéro ne possède donc pas de coefficient calculable par ce quotient ; il faut décrire la variation absolue.

Hausse puis baisse de même taux. Une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % donne 1,20 × 0,80 = 0,96, et non 1. Pour connaître l'effet cumulé exact, il faut multiplier les coefficients plutôt qu'additionner les taux signés.

Retour à la valeur initiale. Le coefficient inverse de 1,25 est 0,80 : la baisse qui annule une hausse de 25 % est donc de 20 %, et non de 25 %. Il faut prendre l'inverse du coefficient, puis convertir ce résultat en taux.

Quantités négatives. Les repères « supérieur à 1 = hausse » et « entre 0 et 1 = baisse » supposent une valeur initiale positive. Avec une valeur négative, il faut comparer les valeurs dans leur contexte plutôt que déduire le sens de l'évolution du seul coefficient.

Pourcentage — Relier un taux à une fraction de cent éclaire le passage de 25 % à 0,25.

Proportionnalité — Situer la multiplication par un même nombre dans le cadre général des grandeurs proportionnelles.