Proportionnalité

Trois cahiers coûtent 7,50 €, et cinq cahiers identiques coûtent 12,50 €. Chaque cahier ajoute toujours 2,50 € au prix total. La quantité et le prix grandissent donc dans la même proportion : doubler le nombre de cahiers double le prix, le tripler triple le prix.

Le nombre 2,50 est le coefficient de proportionnalité. Il permet de passer du nombre de cahiers au prix en euros par une même multiplication.

Deux grandeurs sont directement proportionnelles lorsque toutes leurs valeurs correspondantes sont liées par une même multiplication. Si la première valeur est notée x, la seconde y et le coefficient constant k, la relation s'écrit $y=kxy=kx$. Pour toute valeur non nulle de x, le rapport de y à x vaut alors k. Dans un tableau de proportionnalité, une ligne s'obtient en multipliant les nombres correspondants de l'autre par k ; dans le sens inverse, le coefficient est 1/k lorsque k est non nul.

La proportionnalité directe se représente par une droite passant par l'origine dans un repère adapté. Elle modélise notamment un prix total quand le prix unitaire reste fixe. La règle de trois et le produit en croix servent à retrouver une valeur manquante, mais ce sont des techniques de calcul, non la définition de la relation.

Dans une proportionnalité inverse, ce n'est pas le rapport mais le produit des deux valeurs qui reste constant. Avec les mêmes notations, $xy=kxy=k$. Pour k non nul, aucune des deux valeurs ne peut être nulle. Cette relation inverse n'est pas une relation linéaire de la forme $y=kxy=kx$.

Une papeterie vend des cahiers identiques à prix unitaire fixe. Les données sont les suivantes : 3 cahiers coûtent 7,50 € ; on cherche le prix de 5 cahiers ; tous les cahiers ont le même prix et aucune remise ne s'applique. La représentation associe la quantité au prix total et rend visible le passage par l'origine.

1. Diviser 7,50 € par 3 donne le prix d'un cahier : 2,50 €.
2. Ce prix unitaire est le coefficient de proportionnalité entre quantité et prix.
3. Multiplier 5 par 2,50 € donne 12,50 €.
4. Le prix de 5 cahiers est donc 12,50 €.

Le contrôle consiste à comparer les rapports : 7,50 ÷ 3 = 2,50 et 12,50 ÷ 5 = 2,50. Le même résultat, exprimé en euros par cahier, confirme la proportionnalité directe.

Au magasin, un prix unitaire fixe permet de calculer le total par proportionnalité. Si une remise par paliers apparaît, il faut appliquer une règle dépendant du palier, souvent définie par morceaux ; des frais fixes, eux, s'ajoutent séparément au lieu d'appliquer un coefficient unique.

En cuisine, les quantités d'une recette peuvent être multipliées par le même nombre lorsque le nombre de portions change. Si la cuisson dépend de l'épaisseur ou du récipient, son temps ne se déduit pas automatiquement par la même règle.

Sur un plan à échelle constante, une longueur réelle se déduit d'une longueur dessinée avec un coefficient fixe. Si l'échelle varie dans l'image, comme sur certaines représentations déformées, un seul coefficient ne suffit plus.

Relation affine. Une relation peut augmenter régulièrement sans être proportionnelle. Par exemple, un prix comprenant 4 € de frais fixes puis 2,50 € par cahier suit une relation affine : pour zéro cahier, le total vaut encore 4 €. Le graphique ne passe donc pas par l'origine.

Pourcentage d'évolution. Ajouter 20 % à une valeur revient bien à la multiplier par 1,20. En revanche, retirer ensuite 20 % ne ramène pas à la valeur initiale : le second pourcentage porte sur une autre base. Une succession de pourcentages demande des coefficients multiplicateurs successifs.

Le test en zéro. Une proportionnalité directe vérifie nécessairement que zéro unité correspond à zéro résultat. Si 0 cahier coûte 4 € à cause de frais fixes, le rapport n'est pas constant et il faut employer un modèle affine.

Une seule paire ne suffit pas. Deux valeurs non nulles donnent toujours un quotient, mais elles ne prouvent pas que ce quotient restera constant. Il faut vérifier plusieurs couples ou disposer d'une règle qui garantit le coefficient fixe.

Arrondis et mesures. Des prix affichés au centime ou des longueurs mesurées peuvent produire des rapports légèrement différents. On compare alors l'écart à la précision des données, plutôt que d'exiger une égalité que l'arrondi rend impossible.

Proportionnalité inverse. Lorsque le produit reste constant et non nul, la valeur zéro est exclue. Diviser par zéro n'a pas de sens ; il faut donc préciser le domaine avant d'utiliser $y=\frac{k}{x}y=\backslash frac\{k\}\{x\}$.

L'article Redécouvrir la proportionnalité approfondit les raisonnements qui permettent de reconnaître une situation proportionnelle au-delà de l'application mécanique d'une règle de trois.