AnalyseMéthode · Glossaire
procédure
En didactique des mathématiques, une procédure désigne une suite d'actions ou d'opérations mentales qu'un apprenant a identifiée comme efficace pour résoudre un type de problème particulier et qu'il est capable de réutiliser dans des situations analogues. La procédure se distingue du simple réflexe en ce qu'elle résulte d'une compréhension, même partielle, de la situation. Elle peut être personnelle ou enseignée, et évolue au fil de l'apprentissage vers des formes plus générales et plus économiques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une procédure comme une suite d'actions ou d'opérations mentales réutilisable.
- Distinguer une procédure comprise d'un réflexe et d'un algorithme.
- Appliquer et contrôler un retour à l'unité dans une situation de proportionnalité.
- Repérer le changement de structure qui rend une procédure inadaptée.
En clair
Quatre cahiers identiques coûtent 12 €. Pour trouver le prix de sept cahiers, une élève calcule d'abord le prix d'un cahier, puis celui de sept. Elle reconnaît une situation déjà rencontrée et reprend une suite d'actions qui lui a réussi.
Cette manière de faire est une procédure. Elle ne consiste pas seulement à appliquer des gestes par habitude : l'élève sait, au moins en partie, pourquoi ils conviennent ici. Avec l'expérience, elle pourra employer cette idée dans davantage de problèmes et avec moins d'étapes.
Définition
En didactique des mathématiques, une procédure est une suite organisée d'actions observables ou d'opérations mentales qu'un apprenant mobilise pour traiter un type déterminé de problème. L'apprenant l'a reconnue comme efficace et peut la réutiliser lorsque la nouvelle situation présente une structure analogue. Une compréhension partielle du problème suffit à distinguer cette conduite d'un simple réflexe.
La procédure peut avoir été inventée par l'apprenant ou enseignée. Elle décrit donc ce que cette personne sait effectivement mettre en œuvre à un moment donné, et pas nécessairement la méthode la plus générale disponible. Dans le problème des cahiers, le retour au prix d'un cahier puis la multiplication par le nombre demandé forment une procédure adaptée à une relation de proportionnalité.
Au fil de l'apprentissage, une même procédure peut être comprise dans un cadre plus large, s'appliquer à davantage de données ou devenir plus économique, c'est-à-dire demander moins d'étapes. Son efficacité reste liée au type de problèmes auquel elle répond : une ressemblance de vocabulaire ou de nombres ne garantit pas que la structure soit analogue.
Le principe
Pour utiliser une procédure, l'apprenant reconnaît d'abord le type de problème et les données utiles. Il exécute ensuite les actions dans un ordre qui conserve leur sens, contrôle le résultat, puis s'arrête lorsque la question posée reçoit une réponse. La procédure est réutilisable si la nouvelle situation a la même structure pertinente. Si cette structure change, il faut l'adapter ou choisir une autre démarche.
Quand l'utiliser
Une procédure s'applique à une famille de problèmes dont l'apprenant sait repérer la structure utile. Les données nécessaires doivent être disponibles, chaque opération doit avoir un sens dans la situation et le résultat doit pouvoir être contrôlé. Pour le retour à l'unité, les cahiers sont identiques et le prix total est proportionnel à leur nombre.
Si le prix comprend 2 € de frais fixes, quatre articles à 12 € ne donnent pas un prix unitaire de 3 € applicable à sept articles. Le quotient mélange alors le coût des articles et les frais. La procédure bloque au contrôle de proportionnalité ; il faut isoler les frais fixes avant de calculer le coût d'un article.
Un exemple, pas à pas
Une élève sait que quatre cahiers identiques coûtent 12 €. Elle cherche le prix de sept cahiers, sans frais supplémentaire. Les données sont donc : 4 cahiers, 12 € au total et 7 cahiers à acheter.
1. Elle reconnaît une situation de proportionnalité : chaque cahier a le même prix.
2. Elle revient à un cahier en divisant le prix total par quatre : . Un cahier coûte donc 3 €.
3. Elle passe à sept cahiers : .
4. Elle répond que sept cahiers coûtent 21 €.
2. Elle revient à un cahier en divisant le prix total par quatre : . Un cahier coûte donc 3 €.
3. Elle passe à sept cahiers : .
4. Elle répond que sept cahiers coûtent 21 €.
Le contrôle refait le chemin inverse : , soit le même prix par cahier. La procédure peut être réutilisée pour un autre nombre de cahiers si le prix reste proportionnel à la quantité.
En pratique
En classe, l'enseignant observe les étapes employées, pas seulement la réponse. Deux élèves peuvent obtenir 21 € avec des procédures différentes ; leurs écrits et leurs explications montrent ce qu'ils ont compris et ce qu'ils savent réutiliser.
Pour choisir entre plusieurs procédures, l'apprenant regarde les nombres et la structure. Le retour à l'unité est utile quand la valeur pour une unité se calcule simplement. Une autre procédure peut être préférable si une relation directe apparaît, par exemple passer de quatre objets à huit en doublant.
Lors d'une vérification, expliquer le rôle de chaque opération révèle mieux la procédure qu'une récitation. Ici, diviser 12 par 4 sert à obtenir le prix d'un cahier ; multiplier ensuite par 7 répond à la nouvelle quantité.
À ne pas confondre
Une procédure n'est pas un réflexe. Le critère est la compréhension de la situation, même partielle : l'élève peut relier la division par quatre aux quatre cahiers. Répéter la même division dès que les nombres 12 et 4 apparaissent, sans examiner le problème, relève d'un automatisme inadapté.
Une procédure d'apprenant n'est pas nécessairement un algorithme. La procédure décrit une manière de faire effectivement disponible, parfois personnelle et limitée à certaines situations reconnues. Un algorithme formule des instructions déterminées pour toute entrée de son domaine. Le retour à l'unité utilisé seulement pour les cahiers peut être une procédure avant d'être généralisé.
Limites et pièges
Une réussite isolée ne suffit pas à établir qu'une procédure est comprise et réutilisable. Le symptôme est une suite d'opérations correcte que l'apprenant ne peut ni expliquer ni adapter lorsque les nombres changent. Il faut alors proposer une situation analogue et lui demander de justifier le rôle de chaque étape.
Une procédure efficace dans un cas peut échouer hors de son domaine. Avec 2 € de frais fixes, le prix n'est plus proportionnel au nombre de cahiers : diviser 12 € par 4 puis multiplier par 7 produit un résultat injustifié. Il faut identifier séparément la part fixe et la part proportionnelle.
Une procédure plus courte n'est pas automatiquement mieux comprise. L'économie d'étapes devient un progrès lorsqu'elle conserve le sens et la possibilité de contrôler le résultat. Sinon, elle peut masquer un automatisme fragile ; faire expliciter l'étape supprimée permet de trancher.
Pour aller plus loin
La fiche algorithme aide à distinguer une procédure personnelle d'une suite d'instructions définie sur tout un domaine d'entrées.
La fiche Proportionnalité précise la structure qui autorise le retour à l'unité dans l'exemple des cahiers.
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