ArithmétiqueNotion · Glossaire
Produits en croix
Le produit en croix est une propriété qui transforme une égalité de deux rapports définis en une égalité de produits. La règle de trois en est une application pour trouver une quatrième valeur proportionnelle à trois données. Si b et x sont non nuls, a/b = c/x entraîne ax = bc. Si a est aussi non nul, on peut isoler l’inconnue : x = bc/a, à condition que la valeur obtenue pour x ne soit pas nulle. Cette méthode est fondamentale dans les calculs de proportionnalité directe. Elle s'utilise pour les conversions d'unités, les pourcentages, les échelles et de nombreux problèmes pratiques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une égalité de rapports issue d’une proportionnalité directe.
- Poser puis calculer une quatrième proportionnelle par produits croisés.
- Contrôler le résultat par un passage au prix unitaire.
- Éviter la division par zéro et l’emploi de la règle sur une relation non proportionnelle.
En clair
Trois carnets coûtent 7,50 €. Si chaque carnet garde le même prix, combien coûtent cinq carnets ? Les deux quantités de carnets et les deux prix forment deux couples proportionnels. Une seule valeur manque.
Le produit en croix relie les nombres placés en diagonale dans les deux rapports. Il donne ici 12,50 €. Ce calcul est une règle de trois : il retrouve une quatrième valeur sans devoir calculer mentalement chaque carnet.
Définition
Le produit en croix est la propriété qui transforme une égalité de deux rapports en une égalité de produits. On note a le numérateur et b le dénominateur du premier rapport, c le numérateur du second et x son dénominateur inconnu. Lorsque les rapports sont définis, . Si a est non nul, isoler l’inconnue donne . La valeur obtenue ne convient à l’égalité initiale que si x est non nul, afin que le second rapport soit défini.
La propriété algébrique s’applique à toute égalité de rapports définis. Pour l’utiliser dans une situation de proportionnalité, les deux rapports doivent décrire la même proportionnalité directe. Les dénominateurs b et x doivent être non nuls. Le calcul de x exige aussi a non nul ; sinon, la division par a n’a pas de sens et l’égalité doit être examinée autrement.
La règle de trois est l’usage de cette propriété pour déterminer une quatrième proportionnelle à partir de trois valeurs connues. Elle intervient notamment dans les conversions d’unités, les pourcentages et les échelles, à condition que la relation étudiée soit bien proportionnelle.
Un exemple, pas à pas
Dans une papeterie, trois carnets identiques coûtent 7,50 €. Le prix est proportionnel au nombre de carnets. On cherche le prix de cinq carnets.
Données.
Nombre connu : 3 carnets.
Prix correspondant : 7,50 €.
Nombre souhaité : 5 carnets.
Prix inconnu : x euros.
Nombre connu : 3 carnets.
Prix correspondant : 7,50 €.
Nombre souhaité : 5 carnets.
Prix inconnu : x euros.
1. On conserve le même ordre dans les deux rapports : .
2. Les produits croisés sont égaux : .
3. On divise par 3 : . Le croisement associe bien chaque nombre au terme situé en diagonale.
2. Les produits croisés sont égaux : .
3. On divise par 3 : . Le croisement associe bien chaque nombre au terme situé en diagonale.
Les cinq carnets coûtent donc 12,50 €. Pour contrôler, le prix unitaire vaut 7,50 ÷ 3 = 2,50 € par carnet, puis 5 × 2,50 = 12,50 €. Les deux méthodes donnent le même résultat.
En pratique
Pour comparer des quantités et des prix, placez les grandeurs de même nature dans le même ordre. Avec les carnets, le produit en croix convient dès que le prix unitaire reste constant. Si ce prix unitaire se calcule immédiatement, le passage par l’unité offre souvent un contrôle plus parlant.
Pour un pourcentage, associez une partie à son total et gardez la même organisation dans le second rapport. Le produit en croix est utile quand une des quatre valeurs manque. Si le pourcentage correspond à une fraction familière, le calcul direct de cette fraction peut être plus court.
Pour une conversion d’unités ou une échelle, commencez par écrire la correspondance connue, puis la correspondance cherchée. Le produit en croix convient si le coefficient reste constant. Lorsque les unités se convertissent par un facteur connu, appliquer directement ce facteur évite une mise en proportion inutile.
À ne pas confondre
Multiplier deux fractions. Dans un produit de fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Le produit en croix part au contraire d’une égalité de rapports. Par exemple, 3/7,50 = 5/12,50 conduit à comparer 3 × 12,50 et 7,50 × 5.
Proportionnalité inverse. Dans une proportionnalité directe, multiplier le nombre de carnets multiplie leur prix par le même facteur. Dans une relation inverse, augmenter une grandeur diminue l’autre de façon à conserver un produit. Une égalité de rapports construite comme dans l’exemple ne modélise donc pas automatiquement ce second cas.
Limites et pièges
Zéro au dénominateur. Si b = 0 ou si la valeur cherchée x vaut 0 dans un dénominateur, le rapport n’est pas défini. Il ne faut pas effectuer le produit en croix ; il faut reformuler les données sans division par zéro.
Valeur par laquelle on divise. Dans la forme , le cas charnière a = 0 interdit d’isoler x par cette formule. Selon les autres valeurs, l’égalité initiale peut être impossible ou ne pas déterminer une valeur unique. Il faut revenir à cette égalité.
Relation non proportionnelle. Un tableau de nombres ne suffit pas à justifier la règle. Si le rapport varie, le résultat obtenu mécaniquement ne décrit pas la situation. Il faut alors identifier la relation réelle avant de calculer. Avec des mesures arrondies, conservez les valeurs disponibles pendant le calcul et n’arrondissez qu’à la fin.
Pour aller plus loin
Proportionnalité. Reconnaître la relation qui autorise une règle de trois et comprendre le rôle du coefficient constant.
Pourcentage. Relier une part à un total et appliquer le produit en croix à une valeur exprimée sur cent.
Redécouvrir la proportionnalité. Approfondir les raisonnements qui se cachent derrière les automatismes de calcul proportionnel.
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