grandeurs proportionnelles

Un kilogramme de pommes coûte 2,50 €, deux kilogrammes coûtent 5 € et quatre kilogrammes coûtent 10 €. Chaque prix s'obtient en multipliant la masse par le même nombre, 2,5. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité ; ici, il s'exprime en euros par kilogramme.

Doubler ou tripler la masse double ou triple donc le prix. Si la masse vaut zéro, le prix calculé par cette règle vaut aussi zéro.

Deux suites de nombres sont proportionnelles lorsqu'un même nombre réel transforme chaque terme de la première en le terme correspondant de la seconde. Si u_n désigne le terme d'indice n de la première suite, v_n celui de la seconde et k le coefficient fixe, la condition est : $v_n=k{u}_n\text{pour tout indice }nv\_n=k\; u\_n\backslash quad\backslash text\{pour\; tout\; indice\; \}n$. Elle porte sur tous les indices du domaine commun, pas seulement sur quelques valeurs observées.

Lorsque u_n est non nul, le quotient v_n/u_n vaut k. Un terme nul ne permet pas ce quotient, mais la relation impose alors v_n = 0. Le coefficient peut être positif, négatif ou nul. S'il est positif, l'ordre des valeurs est conservé ; s'il est négatif, il est inversé ; s'il vaut zéro, toute la seconde suite est nulle.

La même définition vaut pour deux fonctions f et g sur un même ensemble : il existe un réel k tel que g(x) = k·f(x) pour chaque valeur x de cet ensemble. Dans le cas particulier où f(x) = x, la fonction g vérifie g(x) = kx : son graphe est une droite passant par l'origine. Cette absence de terme ajouté caractérise une relation linéaire homogène.

Un étal affiche des pommes à 2,50 € par kilogramme. Les données sont le tarif de 2,50 €/kg et les masses de 1 kg, 2 kg, 3 kg et 4 kg. On suppose que ce tarif est appliqué sans frais fixe.

1. Pour 1 kg, le prix est 1 × 2,50 = 2,50 €.

2. Avec le même coefficient, 2 kg coûtent 2 × 2,50 = 5 €, 3 kg coûtent 3 × 2,50 = 7,50 € et 4 kg coûtent 4 × 2,50 = 10 €.

3. Les quatre quotients prix/masse valent 2,50 €/kg. Le rapport est constant : les deux suites de valeurs sont proportionnelles, de coefficient 2,5.

4. La représentation graphique place les quatre couples sur la droite d'équation p = 2,5m, où m est la masse en kilogrammes et p le prix en euros. Cette droite passe aussi par l'origine. Pour contrôler 10 €, on divise par 4 kg : 10/4 = 2,50 €/kg, le tarif annoncé.

Pour calculer un prix à tarif constant, multipliez la quantité par le prix unitaire. Si un abonnement ou des frais fixes s'ajoutent, une relation affine convient mieux, car le total n'est plus nul pour une quantité nulle.

Pour agrandir une recette, multipliez toutes les quantités par le même coefficient. Si seul un ingrédient change, les quantités ne restent pas proportionnelles et il faut réexaminer la recette plutôt qu'appliquer une règle unique.

Pour vérifier un tableau de valeurs, comparez les quotients de termes correspondants lorsque les dénominateurs sont non nuls. Si les quotients diffèrent, recherchez une autre relation ; s'ils sont égaux, contrôlez encore les lignes où la première grandeur vaut zéro.

Relation proportionnelle et relation affine. Une relation proportionnelle a la forme y = kx et donne y = 0 lorsque x = 0. Une relation affine peut ajouter une constante. Ainsi, un prix de 2,50 € par kilogramme plus 1 € d'emballage vérifie y = 2,5x + 1 : il n'est pas proportionnel à la masse.

Proportionnalité directe et proportionnalité inverse. Dans la relation directe, le quotient y/x reste constant lorsque x est non nul. Pour une relation inverse comme y = 12/x, c'est le produit xy qui reste constant. Doubler x double y dans le premier cas, mais divise y par deux dans le second.

Valeur nulle. Le quotient v_n/u_n est impossible lorsque u_n = 0. Il faut revenir à v_n = k·u_n : la proportionnalité exige alors v_n = 0. Un couple (0, 1) suffit donc à l'exclure.

Coefficient nul. Si k = 0, tous les termes de la seconde suite valent zéro, quelle que soit la première. La relation est bien proportionnelle, mais les valeurs de la seconde suite ne permettent pas de retrouver celles de la première.

Coefficient négatif. La définition autorise un coefficient k strictement négatif. Lorsque la première valeur augmente, la seconde diminue alors au sens de l'ordre : par exemple, −2 × 3 = −6 est inférieur à −2 × 1 = −2. Il ne faut donc parler de variation dans le même sens que pour un coefficient strictement positif.

Quelques couples alignés. Vérifier deux ou trois données ne prouve une règle que sur ces données. Pour affirmer que deux fonctions sont proportionnelles sur un ensemble, l'égalité g(x) = k·f(x) doit valoir pour chaque x de cet ensemble.

Proportionnalité — Approfondir les méthodes de calcul et les représentations associées à une même relation proportionnelle.

Redécouvrir la proportionnalité — Prolonger la notion par un article consacré à ses raisonnements et à ses usages.