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Règle de trois
La règle de trois est une méthode arithmétique permettant de trouver une quatrième valeur proportionnelle à trois valeurs données. Si a correspond à b et c correspond à x, alors x = bc/a, à condition que la proportion soit directe. Dans le cas d'une proportion inverse, x = ab/c. La règle de trois est une application directe de la notion de proportionnalité et représente un des outils fondamentaux des mathématiques élémentaires et appliquées.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la règle de trois et la quatrième proportionnelle.
- Choisir entre les formules directe et inverse avec un critère vérifiable.
- Calculer le prix de cinq carnets à partir de trois carnets et contrôler le résultat.
- Repérer les situations non proportionnelles, les unités incompatibles et le dénominateur nul.
En clair
Trois carnets coûtent 7,50 €. Pour connaître le prix de cinq carnets vendus au même tarif, on conserve la relation entre la quantité et le prix. Plus le nombre de carnets augmente, plus le prix augmente dans la même proportion.
La règle de trois organise ce raisonnement avec trois valeurs connues pour trouver la quatrième. Elle fonctionne aussi lorsque deux grandeurs varient en sens contraire, mais le calcul n'est alors pas le même.
Définition
La règle de trois est une méthode arithmétique qui détermine une quatrième valeur à partir de trois valeurs liées par une proportionnalité. Dans une proportion directe, une première valeur, notée a, correspond à une valeur b. Une autre valeur, notée c, correspond à l'inconnue x. Si a n'est pas nulle, la quatrième proportionnelle est .
Dans une proportion inverse, les deux grandeurs évoluent en sens contraire et le produit des valeurs associées reste constant. Avec les mêmes paires, la valeur cherchée devient , à condition que c ne soit pas nulle.
Le calcul dépend donc de la relation observée : des rapports constants signalent une proportion directe, tandis que des produits constants signalent une proportion inverse. Dans les deux cas, les unités et la nature des grandeurs doivent rester cohérentes.
Le principe
Une valeur a correspond à une valeur b, et une valeur c correspond à la valeur cherchée x.
Si la proportion est directe et si a est non nulle, alors .
Si la proportion est inverse et si c est non nulle, alors .
Il faut donc identifier le type de proportion avant de multiplier les deux valeurs appropriées, puis de diviser par la troisième.
Quand l'utiliser
La règle de trois s'applique à deux grandeurs dont la relation est proportionnelle. Il faut connaître trois valeurs, savoir quelles valeurs se correspondent et chercher la quatrième dans des unités compatibles.
Avant le calcul, on vérifie un critère observable : dans le cas direct, le même multiplicateur relie les valeurs de chaque grandeur ; dans le cas inverse, leurs produits sont égaux. Le dénominateur utilisé doit être non nul.
Une commande assortie de frais fixes n'est pas proportionnelle : doubler le nombre de carnets ne double pas le total. Il faut alors calculer séparément le coût des carnets et les frais, puis les additionner.
Un exemple, pas à pas
Une papeterie vend tous ses carnets au même prix unitaire. Une représentation des deux achats fait apparaître que le nombre de carnets et le prix total augmentent ensemble.
Les données sont les suivantes : trois carnets coûtent 7,50 € ; on veut connaître le prix de cinq carnets ; la valeur inconnue, notée x, est ce prix en euros.
Étape 1. Multiplier le prix connu par la nouvelle quantité : .
Étape 2. Diviser ce résultat par la quantité connue : .
Étape 3. Contrôler le prix unitaire : .
Étape 2. Diviser ce résultat par la quantité connue : .
Étape 3. Contrôler le prix unitaire : .
Les cinq carnets coûtent donc 12,50 €. Le contrôle retrouve 2,50 € par carnet dans les deux achats, ce qui confirme la proportion directe.
En pratique
Pour adapter une recette, la règle de trois convient si chaque quantité d'ingrédient varie avec le nombre de portions. Si un ingrédient ne suit pas cette proportion, sa quantité doit être ajustée séparément.
Pour comparer le prix de plusieurs carnets vendus au même tarif unitaire, on utilise une proportion directe. Si un lot bénéficie d'une remise ou comporte des frais fixes, on retient plutôt son prix affiché et ses conditions.
Pour parcourir une distance fixée, le temps peut varier en proportion inverse de la vitesse lorsque les conditions restent identiques. Si des arrêts s'ajoutent, leurs durées doivent être comptées à part.
À ne pas confondre
Le produit en croix. C'est l'égalité multiplicative obtenue entre deux rapports égaux ; la règle de trois est la méthode qui exploite cette égalité pour trouver une valeur manquante. Une égalité sans inconnue peut se vérifier par produits en croix sans constituer un problème de règle de trois.
Le pourcentage. Un pourcentage exprime une proportion rapportée à cent, tandis que la règle de trois est un procédé de calcul. Chercher le montant d'une remise peut employer une règle de trois, mais la remise reste la grandeur exprimée en pourcentage.
Le coefficient de proportionnalité. Ce nombre transforme toutes les valeurs d'une grandeur en celles de l'autre. La règle de trois peut trouver une seule valeur sans nommer ce coefficient ; calculer toute une série rend le coefficient plus pratique.
Limites et pièges
Dénominateur nul. Dans la formule directe, la valeur de départ a apparaît au dénominateur. Si a vaut 0, la division est impossible ; il faut trouver une autre paire connue dont la première valeur est non nulle.
Relation non proportionnelle. Des frais fixes, un tarif par tranches ou une remise peuvent faire varier le rapport entre quantité et prix. Si deux rapports connus diffèrent, une règle de trois unique ne convient pas ; chaque composante du prix doit être calculée selon sa propre règle.
Direct ou inverse. Deux grandeurs qui évoluent en sens contraire ne relèvent pas automatiquement d'une proportion inverse. Il faut vérifier que leurs produits sont constants ; sinon, aucune des deux formules de la règle de trois ne s'applique.
Unités mélangées. Comparer des valeurs exprimées dans des unités différentes fausse le calcul, même si la formule est correctement posée. Les données doivent d'abord être converties dans une unité commune, puis le résultat doit être rendu avec son unité.
Pour aller plus loin
Proportionnalité — Elle précise la relation générale dont la règle de trois est une application.
Produits en croix — Ils montrent l'égalité multiplicative qui fonde le calcul d'une quatrième proportionnelle.
Pourcentage — Cette fiche relie les calculs sur cent aux situations de proportionnalité.
Redécouvrir la proportionnalité — L'article élargit la perspective au-delà de la seule procédure de calcul.
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