Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
moyenne harmonique
La moyenne harmonique h de n nombres réels strictement positifs a₁, a₂, …, aₙ est définie comme l'inverse de la moyenne arithmétique de leurs inverses : h = n / (1/a₁ + 1/a₂ + … + 1/aₙ). Elle est particulièrement adaptée à certaines situations physiques où l'on combine des grandeurs de type « débit » ou « vitesse ». Par exemple, lorsqu'une moitié de la distance d'un trajet est parcourue à la vitesse v₁ et l'autre moitié à la vitesse v₂, la vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours est la moyenne harmonique de v₁ et v₂ — et non leur moyenne arithmétique. D'autres contextes font intervenir des inverses sans donner automatiquement une moyenne harmonique : les débits de plusieurs sources alimentant simultanément un récipient s'additionnent, et la résistance équivalente de résistances en parallèle n'est pas elle-même leur moyenne harmonique. De même, un problème d'équilibre mécanique avec des bras de levier inégaux ne relève de la moyenne harmonique que si son modèle conduit effectivement à une moyenne d'inverses. Les quatre moyennes classiques — harmonique h, géométrique g, arithmétique m, quadratique q — vérifient l'inégalité : h ⩽ g ⩽ m ⩽ q.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Calculer la moyenne harmonique de valeurs strictement positives.
- Retrouver une vitesse moyenne de 72 km/h sur deux distances égales.
- Choisir entre moyenne harmonique, moyenne pondérée et moyenne arithmétique.
- Éviter de confondre moyenne harmonique, débits simultanés et résistance équivalente.
En clair
Une voiture parcourt 90 km à 60 km/h, puis encore 90 km à 90 km/h. Les deux vitesses ne durent pas aussi longtemps : le premier tronçon prend 1 h 30, le second 1 h. La vitesse moyenne est donc 72 km/h, et non 75 km/h.
La moyenne harmonique traduit cette idée : quand des quantités égales sont parcourues ou produites à des rythmes différents, les rythmes lents pèsent davantage, car ils occupent plus de temps.
Définition
La moyenne harmonique s'applique à une liste de nombres réels strictement positifs. On note n le nombre de valeurs, a1, a2, …, an ces valeurs et h leur moyenne harmonique. On inverse chaque valeur, on calcule la moyenne arithmétique de ces inverses, puis on inverse le résultat.
Cette définition s'écrit . Elle convient notamment à la moyenne de vitesses sur des distances égales. Plus généralement, si les quantités associées aux rythmes ne sont pas égales, il faut employer une moyenne harmonique pondérée.
Pour les mêmes valeurs positives, on note g la moyenne géométrique, m la moyenne arithmétique et q la moyenne quadratique. Elles vérifient . L'égalité partout se produit lorsque toutes les valeurs sont égales.
Un exemple, pas à pas
Un trajet comporte deux tronçons de même longueur. Données : le premier mesure 90 km à 60 km/h ; le second mesure 90 km à 90 km/h. On cherche la vitesse constante qui couvrirait tout le trajet dans le même temps. Un schéma de ce trajet permet de comparer les distances égales et les durées différentes.
1. Le premier tronçon dure 90 ÷ 60 = 1,5 h, soit 1 h 30.
2. Le second tronçon dure 90 ÷ 90 = 1 h.
3. La distance totale vaut 90 + 90 = 180 km et la durée totale vaut 1,5 + 1 = 2,5 h. La vitesse moyenne est donc 180 ÷ 2,5 = 72 km/h.
Le calcul direct par moyenne harmonique donne le même résultat : . Le contrôle consiste à multiplier 72 km/h par 2,5 h : on retrouve bien les 180 km parcourus.
En pratique
Pour une vitesse moyenne, on divise toujours la distance totale par le temps total. Si les distances parcourues à chaque vitesse sont égales, cette opération conduit à la moyenne harmonique ; si les durées sont égales, la moyenne arithmétique convient.
Pour un remplissage effectué successivement à plusieurs débits sur des volumes égaux, on additionne les durées nécessaires avant de calculer le débit moyen. Si plusieurs sources remplissent le récipient en même temps, on additionne plutôt leurs débits.
Dans un circuit, l'addition des inverses intervient pour des résistances montées en parallèle. Dans certains problèmes d'équilibre mécanique avec des bras de levier inégaux, une structure harmonique peut aussi apparaître ; il faut alors vérifier que le modèle moyenne réellement des inverses.
À ne pas confondre
Moyenne arithmétique. Elle additionne les valeurs puis divise par leur nombre. Pour 60 et 90, elle vaut 75. Elle décrit la vitesse moyenne de deux phases de même durée, tandis que deux distances égales donnent 72 par moyenne harmonique.
Moyenne géométrique. Elle repose sur un produit et convient notamment à des facteurs multiplicatifs. Pour deux valeurs positives, elle est la racine carrée de leur produit ; ce critère la distingue de la moyenne harmonique, fondée sur les inverses.
Résistance équivalente en parallèle. Pour n résistances, elle vaut . Elle utilise le même dénominateur que la moyenne harmonique h, mais ce n'est pas cette moyenne.
Limites et pièges
Zéro ou valeur négative. La définition donnée ici exige des nombres strictement positifs. Avec zéro, un inverse n'existe pas ; avec une valeur négative, l'ordre classique des quatre moyennes n'est plus applicable. Il faut revenir au modèle du problème.
Distances inégales. Faire la moyenne harmonique simple de deux vitesses devient faux si les distances diffèrent. Il faut pondérer chaque inverse par la distance correspondante, ou calculer directement la distance totale divisée par le temps total.
Durées égales. Si une vitesse de 60 km/h et une vitesse de 90 km/h sont maintenues pendant exactement 1 h chacune, la moyenne est 75 km/h. Le seuil décisif n'est donc pas le nombre de phases, mais l'égalité des distances ou des durées.
Quantités simultanées. Deux débits actifs en même temps s'additionnent, et deux résistances en parallèle donnent une résistance équivalente égale à h/n. La présence d'inverses signale une parenté de calcul, pas automatiquement une moyenne harmonique.
Pour aller plus loin
moyenne arithmétique — Pour comparer le partage à durées égales avec le partage à distances égales.
moyenne géométrique — Pour situer la moyenne harmonique dans l'inégalité des moyennes classiques.
moyenne quadratique — Pour découvrir la plus grande des quatre moyennes classiques citées dans la fiche.
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