Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
moyenne quadratique
La moyenne quadratique d'un ensemble de n nombres réels, où n est un entier au moins égal à 1, est définie comme la racine carrée de la moyenne arithmétique de leurs carrés. Si les nombres sont x₁, x₂, …, xₙ, la moyenne quadratique q vaut : q = √((x₁² + x₂² + … + xₙ²) / n). Elle est utilisée notamment en physique et en traitement du signal pour quantifier l'amplitude d'une grandeur oscillante (on parle alors de valeur efficace). En statistique, elle est liée à la notion d'écart type. Les quatre moyennes classiques — harmonique h, géométrique g, arithmétique m et quadratique q — satisfont l'inégalité : h ⩽ g ⩽ m ⩽ q, ce qui signifie que la moyenne quadratique est toujours la plus grande des quatre pour des valeurs réelles positives non toutes égales.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle des carrés dans la moyenne quadratique.
- Calculer la moyenne quadratique de 3 et 4 en quatre opérations vérifiables.
- Relier la notion à la valeur efficace et à l'écart-type sans les confondre.
- Appliquer l'inégalité des quatre moyennes seulement sous ses hypothèses.
En clair
Prenez deux mesures, 3 et 4. Au lieu de les additionner directement, élevez-les d'abord au carré : vous obtenez 9 et 16. Leur moyenne vaut 12,5. La racine carrée de 12,5, soit environ 3,54, est la moyenne quadratique.
Le passage par les carrés efface les signes et donne davantage de poids aux grandes amplitudes. Cette moyenne décrit donc la taille d'une grandeur qui varie ou change de signe lorsque l'amplitude quadratique moyenne est le critère pertinent, sans simple compensation entre valeurs positives et négatives.
Définition
La moyenne quadratique s'applique à une liste non vide de nombres réels. On note n le nombre de valeurs, x1, x2, …, xn ces valeurs, et q leur moyenne quadratique. On calcule la moyenne de leurs carrés, puis on en prend la racine carrée.
Le résultat est toujours positif ou nul, même si certaines données sont négatives. En physique et en traitement du signal, ce calcul mesure l'amplitude d'une grandeur oscillante sous le nom de valeur efficace. En statistique, l'écart-type est la moyenne quadratique des écarts à la moyenne arithmétique. Pour des valeurs strictement positives, si h, g et m désignent respectivement les moyennes harmonique, géométrique et arithmétique, alors . Les quatre valeurs coïncident lorsque toutes les données sont égales ; sinon la moyenne quadratique dépasse la moyenne arithmétique.
Un exemple, pas à pas
Deux mesures sans unité valent 3 et 4. On cherche une valeur unique qui tienne compte de leur amplitude. Données :
nombre de mesures : 2 ;
première mesure : 3 ;
seconde mesure : 4.
nombre de mesures : 2 ;
première mesure : 3 ;
seconde mesure : 4.
1. Élever chaque mesure au carré : 32 = 9 et 42 = 16.
2. Additionner les carrés : 9 + 16 = 25.
3. Diviser par le nombre de mesures : 25 ÷ 2 = 12,5.
4. Prendre la racine carrée : √12,5 ≈ 3,54.
2. Additionner les carrés : 9 + 16 = 25.
3. Diviser par le nombre de mesures : 25 ÷ 2 = 12,5.
4. Prendre la racine carrée : √12,5 ≈ 3,54.
La moyenne quadratique des deux mesures vaut donc environ 3,54, sans unité. Une représentation des quatre opérations permet de suivre ce passage des valeurs au résultat. Le contrôle est refaisable en élevant 3,54 au carré : on obtient environ 12,53, valeur proche de 12,5 à cause de l'arrondi. Le résultat se situe bien entre 3,5, leur moyenne arithmétique, et 4, la plus grande mesure.
En pratique
Pour un signal échantillonné qui oscille autour de zéro, les valeurs positives et négatives peuvent s'annuler dans la moyenne arithmétique. La valeur efficace mesure leur amplitude quadratique moyenne, sans correspondre nécessairement à leur amplitude maximale : on choisit donc la moyenne quadratique lorsque la taille des oscillations importe davantage que leur signe.
Pour décrire la dispersion de données statistiques autour de leur centre, on applique le même calcul aux écarts à la moyenne arithmétique. Le résultat est l'écart-type. On préfère cet écart-type à la moyenne quadratique brute lorsque la distance au centre est la question observée.
Pour comparer des valeurs positives comme 3 et 4, la moyenne arithmétique donne le niveau ordinaire, soit 3,5. La moyenne quadratique, environ 3,54, convient lorsque les grandes valeurs doivent peser davantage dans le résumé.
À ne pas confondre
Moyenne arithmétique. Elle additionne directement les valeurs avant de diviser par leur nombre. Avec 3 et 4, elle vaut 3,5, tandis que la moyenne quadratique vaut environ 3,54 : le passage par les carrés distingue les deux calculs.
Écart-type. Il mesure des écarts à la moyenne arithmétique, alors que la moyenne quadratique brute mesure les valeurs par rapport à zéro. Pour 3 et 4, l'écart-type de population vaut 0,5, mais leur moyenne quadratique vaut environ 3,54.
Limites et pièges
Liste vide. Si le nombre n de valeurs vaut 0, la division par n est impossible. Le symptôme est un dénominateur nul : il faut disposer d'au moins une valeur avant de calculer une moyenne quadratique.
Signe perdu. Deux listes comme 3, 4 et −3, −4 ont la même moyenne quadratique. Les carrés effacent le signe ; il faut conserver les données d'origine ou une mesure signée si le sens de variation compte.
Inégalité hors de son domaine. La chaîne suppose des valeurs strictement positives pour que les quatre moyennes classiques soient comparables. Avec une valeur nulle ou négative, il ne faut pas appliquer cette chaîne telle quelle.
Égalité possible. Lorsque toutes les valeurs valent 3, les moyennes harmonique, géométrique, arithmétique et quadratique valent toutes 3. L'idée de « plus grande moyenne » n'implique donc une inégalité stricte que si les valeurs positives ne sont pas toutes égales.
Pour aller plus loin
Moyenne arithmétique — Retrouvez le calcul de référence auquel la moyenne quadratique est comparée.
Moyenne géométrique — Situez une autre moyenne classique dans l'inégalité qui mène à la moyenne quadratique.
Moyenne harmonique — Examinez le premier terme de l'ordre entre les quatre moyennes positives.
Écart-type — Approfondissez la moyenne quadratique des écarts à la moyenne arithmétique.
Signal — Replacez la valeur efficace dans le contexte d'une grandeur qui varie.
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