Valeur efficace

La tension d’un signal alternatif monte, redescend et peut changer de signe. Une seule valeur permet pourtant d’en résumer la grandeur quadratique : on élève chaque valeur au carré, on en fait la moyenne, puis on prend la racine carrée. Les signes opposés ne s’annulent donc pas.

Cette valeur efficace, aussi appelée valeur RMS, permet notamment de calculer la puissance moyenne dissipée dans un dipôle résistif. Pour une sinusoïde qui atteint 10 V en crête, elle vaut environ 7,07 V.

Soit un signal périodique dont la valeur à l’instant t est notée f(t), et soit T sa période. Sa valeur efficace, notée f_eff, est la racine carrée de la moyenne de f(t)² calculée sur une période.

Le carré rend positives les contributions de tous les instants ; la racine finale redonne l’unité du signal. Le choix de la période de départ ne change pas le résultat. Pour un signal sinusoïdal centré sur zéro et d’amplitude de crête A, la moyenne du carré vaut A²/2, donc la valeur efficace vaut $A\mathrm{/}\sqrt{2}A/\backslash sqrt\{2\}$. Cette grandeur caractérise notamment les tensions et les courants alternatifs en électrotechnique ; dans un dipôle résistif, elle permet de calculer la même puissance moyenne que produirait une tension ou un courant continu de même valeur.

Considérons une tension sinusoïdale. Deux données suffisent : sa forme est sinusoïdale et son amplitude de crête A vaut 10 V. Le dessin associé rend visibles la crête et le niveau efficace obtenus avec ces mêmes données.

1. Élever la tension au carré. Sa crête carrée vaut 10² = 100 V².

2. Calculer la moyenne sur une période. Pour une sinusoïde, la moyenne du carré est la moitié du carré de l’amplitude : 100/2 = 50 V².

3. Prendre la racine carrée : $U_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx \mathrm{7,07}\mathrm{V}U\_\{\backslash mathrm\{eff\}\}=\backslash sqrt\{50\}=5\backslash sqrt\{2\}\backslash approx\; 7\{,\}07\backslash \; \backslash mathrm\{V\}$. La tension efficace vaut donc environ 7,07 V.

Le contrôle consiste à refaire l’opération inverse : 7,07 × √2 donne environ 10 V, soit l’amplitude de crête annoncée.

Pour caractériser une tension ou un courant alternatif, la valeur efficace fournit une mesure quadratique globale sur une période. Les valeurs instantanées restent nécessaires pour étudier l’évolution temporelle, la forme, la phase, les transitoires ou les valeurs extrêmes du signal.

Pour une sinusoïde, on part de l’amplitude de crête et on la divise par √2. Dans l’exemple à 10 V, ce geste donne 7,07 V efficaces.

Pour une autre forme périodique, le raccourci par √2 n’est plus garanti. Il faut revenir aux trois opérations qui définissent la RMS : carré, moyenne sur une période, puis racine carrée.

Valeur moyenne. Elle moyenne directement les valeurs signées, tandis que la valeur efficace moyenne leurs carrés avant de prendre une racine. Sur une sinusoïde complète centrée sur zéro, la valeur moyenne est nulle alors que la valeur efficace est positive.

Amplitude de crête. Pour un signal centré sur zéro, elle est le maximum du module du signal ; la valeur efficace dépend de toutes les valeurs de la période. Pour la sinusoïde de l’exemple, la crête vaut 10 V et la valeur efficace environ 7,07 V.

Le facteur √2 n’est pas universel. Il vaut pour une sinusoïde centrée sur zéro. Si la forme du signal change ou si une composante continue s’ajoute, le raccourci par √2 peut devenir faux ; le calcul carré–moyenne–racine reste applicable sur une période.

Une RMS ne décrit pas la forme. Deux signaux différents peuvent avoir la même moyenne de leurs carrés. Une valeur de 7,07 V ne suffit donc pas à conclure que le signal est la sinusoïde de crête 10 V de l’exemple.

La période doit être complète. Une moyenne prise sur un fragment peut dépendre des instants choisis. Pour un signal périodique, il faut intégrer sur une durée T entière, ou sur un nombre entier de périodes.

Le signe disparaît, pas l’intensité. Un signal constamment égal à −10 V a une valeur efficace de 10 V. Si le signe ou le sens est l’information recherchée, il faut conserver le signal instantané en complément.

signal — Situer la valeur efficace parmi les informations qui décrivent un signal.

valeur moyenne — Approfondir la moyenne directe et mieux voir pourquoi elle diffère de la moyenne quadratique.