AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction sinusoïdale
On appelle fonction sinusoïdale toute fonction réelle de la forme f(t) = A sin(ωt + φ) ou f(t) = A cos(ωt + φ), où A est l'amplitude (réel strictement positif), ω la pulsation (réel strictement positif, relié à la fréquence f₀ et à la période T par ω = 2πf₀ = 2π/T), et φ la phase à l'origine (réel). Ces fonctions sont périodiques de période T = 2π/ω. Les formes sinus et cosinus sont équivalentes à un décalage de phase près, et toute combinaison linéaire réelle non nulle de sin(ωt) et cos(ωt) peut se mettre sous l'une ou l'autre de ces formes canoniques. Les fonctions sinusoïdales modélisent une grande variété de phénomènes oscillatoires en physique (vibrations mécaniques, ondes électromagnétiques, courant alternatif) et en traitement du signal.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle de l’amplitude, de la pulsation et de la phase.
- Relier pulsation, fréquence et période sans confondre leurs valeurs.
- Calculer une oscillation de période 2 s en cinq instants caractéristiques.
- Reconnaître les cas dégénérés et les phases équivalentes modulo 2π.
En clair
Imaginez un point qui monte, redescend, puis recommence exactement le même mouvement. Sa courbe forme une vague régulière. L’amplitude indique jusqu’où la vague s’écarte de sa ligne centrale. La période mesure le temps nécessaire pour retrouver le même état.
La phase choisit le point de la vague où commence l’observation. La pulsation règle la rapidité de l’oscillation : plus elle est grande, plus les cycles se succèdent vite. Une fonction sinusoïdale réunit précisément ces trois réglages.
Définition
Une fonction sinusoïdale réelle associe à une variable réelle t une valeur qui oscille selon un sinus ou un cosinus. L’amplitude, notée A, est un réel strictement positif. La pulsation, notée ω, est également strictement positive. La phase à l’origine, notée φ, est un réel. Ces paramètres donnent deux formes canoniques alternatives, équivalentes à un décalage de phase près : et .
La période, notée T, est la durée d’un cycle. La fréquence, notée f0, est le nombre de cycles par unité de temps. Elles sont reliées à la pulsation par , donc . Ajouter 2π à l’angle ne change pas la valeur, ce qui explique la répétition.
Le sinus et le cosinus décrivent la même famille de courbes avec un décalage de phase. Toute combinaison linéaire réelle non nulle de sin(ωt) et cos(ωt), pour une même pulsation ω, peut donc être ramenée à l’une de ces formes canoniques.
De quoi c'est fait
Une fonction sinusoïdale repose sur quatre éléments. La variable t repère l’instant ou la position étudiée. L’amplitude A fixe les valeurs extrêmes, A et −A, autour de zéro. La pulsation ω multiplie t et règle la longueur d’un cycle. La phase φ s’ajoute à ωt et décale le départ dans ce cycle.
La pulsation détermine la période par T = 2π/ω : augmenter ω raccourcit donc T. La phase agit avec la pulsation, car un même décalage de phase correspond à un décalage de t égal à la phase divisée par ω, au signe près selon l’écriture choisie.
Ces paramètres et le choix équivalent entre sinus et cosinus suffisent à construire la courbe et à calculer sa valeur pour tout t. L’épaisseur, la couleur et l’échelle du tracé ne définissent pas la fonction.
Un exemple, pas à pas
Suivons une oscillation pendant un cycle. Le temps t est mesuré en secondes. Les données sont l’amplitude A = 3, la pulsation ω = π radians par seconde et la phase à l’origine φ = π/2. La fonction choisie est .
1. La période vaut .
2. La fréquence vaut .
3. À l’origine, .
4. Aux quarts de période, on obtient successivement f(0,5) = 0, f(1) = −3 et f(1,5) = 0.
5. Après une période, f(2) = 3 : la valeur initiale est retrouvée.
2. La fréquence vaut .
3. À l’origine, .
4. Aux quarts de période, on obtient successivement f(0,5) = 0, f(1) = −3 et f(1,5) = 0.
5. Après une période, f(2) = 3 : la valeur initiale est retrouvée.
Le résultat est une oscillation comprise entre −3 et 3, qui accomplit 0,5 cycle par seconde. Le tracé matérialise les cinq valeurs calculées sur une période de 2 secondes.
Le contrôle se refait sans lire la courbe : remplacer t par t + 2 ajoute 2π à l’angle. Ainsi, .
En pratique
Pour lire une oscillation régulière, relevez d’abord son maximum et son minimum. Lorsqu’elle est centrée sur zéro, leur distance à zéro donne l’amplitude. Dans l’exemple, les extrêmes 3 et −3 donnent A = 3.
Pour mesurer son rythme, repérez deux maxima successifs. Leur écart donne la période, puis son inverse donne la fréquence. Si la pulsation est déjà connue, le calcul T = 2π/ω est plus direct.
Pour modéliser une vibration mécanique, une onde électromagnétique ou un courant alternatif, une fonction sinusoïdale convient lorsque l’oscillation se répète avec cette forme régulière. En traitement du signal, elle fournit alors une description par amplitude, pulsation et phase.
À ne pas confondre
Fréquence et pulsation. La fréquence f0 compte les cycles par unité de temps, tandis que la pulsation ω compte l’angle parcouru et vaut 2πf0. Dans l’exemple, 0,5 Hz correspond à π radians par seconde : les nombres ne sont pas interchangeables.
Amplitude et valeur instantanée. L’amplitude A est le niveau extrême positif fixé pour toute la fonction ; f(t) varie avec t entre −A et A. Ainsi, A reste égale à 3 lorsque f(0,5) vaut 0.
Limites et pièges
Amplitude nulle. Si A = 0, toutes les valeurs sont nulles et aucune oscillation n’est visible. Cette fonction constante est exclue par la convention donnée ici, qui impose A > 0. Il faut la traiter comme un cas dégénéré.
Pulsation nulle ou négative. La forme canonique impose ω > 0. Avec ω = 0, la valeur ne dépend plus de t et la formule T = 2π/ω est impossible. Une pulsation négative doit être réécrite avec une pulsation positive et une phase adaptée.
Phase non unique. Deux phases qui diffèrent de 2π décrivent exactement la même fonction. Ainsi, φ = π/2 et φ = 5π/2 donnent les mêmes valeurs. Il faut comparer les phases modulo 2π avant de conclure à deux oscillations différentes.
Lecture incomplète d’un tracé. Voir seulement une portion montante ne suffit pas à établir la période. Il faut observer deux états identiques séparés par un cycle complet ou disposer de ω ; dans l’exemple, les maxima à t = 0 s et t = 2 s valident T = 2 s.
Pour aller plus loin
À la base du traitement du signal — Pour replacer les sinusoïdes dans l’étude et la description des signaux.
Quand les ondes prennent la tangente — Pour prolonger le lien entre formes mathématiques et phénomènes ondulatoires.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres