On apprend dès le plus jeune âge les formules donnant l’aire et le périmètre des figures usuelles comme le carré, le rectangle, le triangle ou encore le disque. Alors qu’en est-il de l’ellipse ? Pour fixer les choses, on considérera l’ellipse d’équation où a est le demi-grand axe et b le demi-petit axe. Comme le cercle est une ellipse particulière pour laquelle les deux demis-axes a et b sont égaux au rayon R, remplacer a et b par R dans les formules donnant la circonférence et l’aire d’une ellipse devraient nous redonner les deux formules bien connues : 2πR pour le périmètre et πR2 pour l’aire.
La limite des affinités circulaires
Commençons par le calcul de l’aire. En se souvenant que l’ellipse peut être vue comme un cercle qu’on aurait légèrement aplati, on peut en déduire son aire à partir de celle d’un disque de rayon a. L’ellipse est en effet l’image du cercle de rayon a par l’application qui au point de coordonnées (x ; y) associe celui de coordonnées (x ; (b/a)y). L’aire du disque étant égale à πa 2, celle de l’ellipse vaut (b/a)× πa 2, soit tout simplement πab. On peut aussi obtenir cette formule via le calcul intégral et on trouve, fort heureusement, le même résultat (voir encadré).
