écart-type

Imaginez deux séries de mesures qui ont la même moyenne. Dans la première, les valeurs restent serrées autour de cette moyenne ; dans la seconde, elles s'en éloignent davantage. L'écart-type donne un nombre à cette différence de dispersion.

Un petit écart-type signale donc des valeurs regroupées. Un écart-type plus grand signale des valeurs plus étalées. Comme il s'exprime dans la même unité que les valeurs, il se lit directement à leur échelle.

L'écart-type, noté σ, mesure la dispersion des valeurs autour de leur moyenne. Il est la racine carrée de la variance, donc la moyenne quadratique des écarts à la moyenne. Lorsqu'il est défini et fini, il est positif ou nul : il vaut zéro exactement lorsque toutes les valeurs sont égales à la moyenne.

En probabilités, la lettre X désigne une variable aléatoire et E(X) son espérance mathématique. Son écart-type σ_X vérifie : ${\sigma }_X=\sqrt{E[(X-E(X){)}^2]}=\sqrt{E(X^2)-(E(X){)}^2}\backslash sigma\_X=\backslash sqrt\{E[(X-E(X))^2]\}=\backslash sqrt\{E(X^2)-(E(X))^2\}$. Cette définition suppose que X est carré-intégrable, c'est-à-dire que E(X²) < ∞.

En statistique descriptive, on considère n valeurs, notées x_i, et leur moyenne m. L'écart-type de la série se calcule par : $\sigma =\sqrt{\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-m{)}^2}\backslash sigma=\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}(x\_i-m)^2\}$. Les écarts sont élevés au carré avant d'être moyennés : les écarts négatifs et positifs ne s'annulent donc pas. La racine carrée ramène enfin le résultat à l'unité des valeurs initiales.

Une série contient cinq mesures, dans une même unité : 10, 12, 14, 16 et 18. Il y a donc n = 5 valeurs. Toutes les données nécessaires sont annoncées ; on calcule l'écart-type descriptif de cette série.

Une représentation des cinq mesures sur un axe rend visibles leur centre et leurs distances à la moyenne.

1. La moyenne m vaut (10 + 12 + 14 + 16 + 18) / 5 = 14.

2. Les écarts à 14 sont −4, −2, 0, 2 et 4. Leurs carrés valent 16, 4, 0, 4 et 16.

3. La moyenne de ces carrés, c'est-à-dire la variance, vaut (16 + 4 + 0 + 4 + 16) / 5 = 8.

4. L'écart-type est la racine carrée de 8 : $\sigma =\sqrt{8}\approx \mathrm{2,83}\backslash sigma=\backslash sqrt\{8\}\backslash approx2\{,\}83$. Il vaut donc environ 2,83 unités.

Le contrôle consiste à élever 2,83 au carré : on obtient environ 8, à l'arrondi près, ce qui retrouve bien la variance calculée. La symétrie des écarts autour de 14 confirme aussi que la moyenne a été correctement située.

Pour comparer deux séries exprimées dans la même unité, on regarde leur écart-type en plus de leur moyenne. Si les moyennes coïncident, le plus grand écart-type désigne la série la plus dispersée.

Pour décrire quelques valeurs, les données brutes restent préférables lorsqu'elles sont assez peu nombreuses pour être lues directement. L'écart-type devient utile lorsque l'on veut résumer leur éloignement global à la moyenne par un seul nombre.

Pour poursuivre un calcul, la variance évite d'écrire une racine carrée ; pour interpréter la dispersion à l'échelle des mesures, l'écart-type est préférable, car il retrouve leur unité.

Variance. La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ; l'écart-type est sa racine carrée. Dans l'exemple, la variance vaut 8 tandis que l'écart-type vaut √8, soit environ 2,83.

Moyenne. La moyenne indique le centre arithmétique, tandis que l'écart-type indique la dispersion autour de ce centre. Les séries 12, 14, 16 et 10, 14, 18 ont toutes deux pour moyenne 14, mais la seconde est plus dispersée.

Dispersion nulle. Si toutes les valeurs sont identiques, chaque écart à la moyenne vaut 0 et l'écart-type vaut 0. Ce résultat n'indique pas une absence de données, mais une absence de dispersion.

Valeur très éloignée. Comme chaque écart est mis au carré, une mesure éloignée de la moyenne pèse fortement dans le résultat. Il faut alors examiner aussi les valeurs elles-mêmes avant de résumer la série par son seul écart-type.

Convention de calcul. La formule descriptive donnée ici divise la somme des carrés par n. Avant de comparer deux résultats, il faut vérifier que le même dénominateur et la même série de valeurs ont été utilisés.

variance d'une variable aléatoire — Pour approfondir la quantité dont l'écart-type est la racine carrée.