variance d'une série statistique

Deux groupes peuvent avoir la même moyenne sans que leurs valeurs se ressemblent. Dans la série 2, 4, 4, 6, la moyenne vaut 4 : deux valeurs sont à 2 de ce centre et deux sont exactement au centre.

La variance transforme chaque distance à la moyenne en carré, puis fait la moyenne de ces carrés. Elle vaut ici 2. Une petite variance signale des valeurs resserrées ; une grande variance signale un étalement plus marqué.

La variance est une mesure de dispersion d’une série quantitative. On considère une série de n valeurs, notées x₁, x₂, …, x_n, et leur moyenne arithmétique, notée m. Chaque écart x_i − m mesure la position d’une valeur par rapport au centre. Le carré empêche les écarts positifs et négatifs de s’annuler.

La variance de la série, notée V(X), est la moyenne arithmétique de ces carrés : Chaque valeur répétée est comptée autant de fois qu’elle apparaît. Comme il s’agit d’une moyenne de carrés, la variance est toujours positive ou nulle. Elle est nulle exactement lorsque toutes les valeurs sont identiques.

Si les données sont exprimées dans une unité, la variance s’exprime dans le carré de cette unité. Sa racine carrée est l’écart-type, qui retrouve l’unité des données et facilite donc souvent l’interprétation.

Le calcul réunit cinq éléments. Les observations x_i sont les valeurs de départ, et leur nombre n fixe le diviseur. Leur moyenne arithmétique m donne le centre commun. Les écarts x_i − m dépendent donc à la fois de chaque observation et de cette moyenne. Leurs carrés rendent toutes les contributions positives ou nulles. Enfin, la moyenne de ces carrés produit la variance.

Les valeurs, leurs répétitions et l’unité suffisent à construire tous ces éléments. Leur ordre de présentation ne change ni la moyenne ni la variance ; modifier une valeur ou sa multiplicité peut changer les deux.

Une série comporte quatre valeurs sans unité particulière : 2, 4, 4 et 6. La valeur 4 apparaît deux fois ; ces deux occurrences participent séparément au calcul.

1. Calculer la moyenne : $m=\frac{2+4+4+6}{4}=4m=\backslash frac\{2+4+4+6\}\{4\}=4$.

2. Former les écarts à la moyenne : −2, 0, 0 et 2.

3. Élever ces écarts au carré : 4, 0, 0 et 4.

4. Faire la moyenne des carrés : $V(X)=\frac{4+0+0+4}{4}=2V(X)=\backslash frac\{4+0+0+4\}\{4\}=2$. La variance de la série vaut donc 2.

Le contrôle consiste à refaire la somme : les carrés totalisent 8, et 8 ÷ 4 vaut bien 2. L’écart-type associé vaut $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,41}\backslash sqrt\{2\}\backslash approx\; 1\{,\}41$. La figure matérialise les quatre observations et leurs distances au centre 4.

Pour comparer deux séries exprimées dans la même unité, on calcule leur variance autour de leur moyenne. La série dont la variance est la plus grande est la plus dispersée selon cette mesure.

Pour annoncer une dispersion dans l’unité des données, on préfère l’écart-type à la variance. Le critère est immédiatement visible : la variance porte une unité au carré, tandis que l’écart-type conserve l’unité d’origine.

Pour vérifier un calcul, on contrôle d’abord la moyenne, puis chaque écart et chaque carré. Une contribution négative dans la dernière liste révèle nécessairement une erreur, puisqu’un carré ne peut pas être négatif.

Variance et écart-type. La variance est la moyenne des carrés des écarts ; l’écart-type est sa racine carrée. Pour la série 2, 4, 4, 6, ils valent respectivement 2 et √2 ≈ 1,41.

Variance et moyenne. La moyenne situe le centre, tandis que la variance mesure l’étalement autour de ce centre. Les séries 3, 4, 4, 5 et 2, 4, 4, 6 ont toutes deux pour moyenne 4, mais leurs variances valent 0,5 et 2.

Variance et étendue. L’étendue ne regarde que la plus petite et la plus grande valeur. La variance utilise toutes les occurrences : changer une valeur intérieure sans modifier les extrêmes peut donc laisser l’étendue inchangée et modifier la variance.

Série constante. Si toutes les valeurs sont identiques, chaque écart est nul et la variance vaut exactement 0. Il ne faut pas en conclure que la valeur commune vaut 0 : seule la dispersion est nulle.

Valeur très éloignée. La mise au carré donne beaucoup de poids aux grands écarts. Une observation extrême peut donc augmenter fortement la variance ; il faut alors examiner aussi les données, et pas seulement ce nombre résumé.

Unité au carré. Des longueurs en mètres produisent une variance en mètres carrés, même si aucune aire n’est mesurée. Pour retrouver une dispersion en mètres, il faut prendre la racine carrée, donc l’écart-type.

Diviseur annoncé. La variance descriptive de la série entière divise par n. Dans un problème d’estimation à partir d’un échantillon, une variance corrigée peut diviser par n − 1 ; il faut identifier la convention avant de comparer les résultats.

L’écart-type montre comment ramener la dispersion dans l’unité des données.

La moyenne arithmétique précise le centre à partir duquel tous les écarts sont calculés.

La statistique descriptive replace la variance parmi les outils qui résument une série de données.