Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Caractères de dispersion
Les caractères de dispersion sont des indicateurs statistiques mesurant l'étalement ou la variabilité d'une distribution autour d'une valeur centrale. Les principaux caractères de dispersion sont : l'étendue (différence entre le maximum et le minimum), la variance (moyenne des carrés des écarts à la moyenne), l'écart-type (racine carrée de la variance), l'écart interquartile (différence Q3 - Q1), et l'écart absolu moyen. Ces indicateurs complètent les caractères de position (moyenne, médiane, mode) pour résumer une distribution.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer étendue, variance, écart-type, écart interquartile et écart absolu moyen.
- Reproduire les cinq calculs sur une série de huit valeurs.
- Choisir un indicateur selon les valeurs extrêmes, l'unité et l'information recherchée.
- Repérer les conventions de quartiles et de diviseur de variance.
En clair
Deux classes peuvent obtenir la même moyenne à un devoir sans avoir des résultats semblables. Dans l'une, les notes restent groupées près de la moyenne ; dans l'autre, elles s'en éloignent fortement. Les caractères de dispersion rendent cette différence mesurable.
L'étendue regarde seulement les deux extrêmes. L'écart interquartile observe la moitié centrale des valeurs. La variance, l'écart-type et l'écart absolu moyen tiennent compte de tous les écarts à la moyenne, mais ne les combinent pas de la même façon.
Définition
Un caractère de dispersion est un nombre qui résume l'étalement d'une série statistique. Pour une série de n valeurs, notées x1, x2, …, xn, l'étendue est le maximum moins le minimum. L'écart interquartile est Q3 − Q1 : il mesure la largeur occupée par la moitié centrale selon la convention de quartiles retenue.
La moyenne de la série est notée . La variance de la série, notée V, moyenne les carrés des écarts à cette moyenne ; l'indice i parcourt les valeurs de 1 à n :
L'écart-type, noté σ, est la racine carrée de V. L'écart absolu moyen, noté D, remplace les carrés par les valeurs absolues des écarts :
L'étendue, l'écart interquartile, l'écart-type et l'écart absolu moyen s'expriment dans l'unité des données. La variance s'exprime dans cette unité au carré. Ces indicateurs complètent la moyenne, la médiane ou le mode : une position centrale ne renseigne pas, à elle seule, sur la concentration des valeurs.
Un exemple, pas à pas
Une petite série de huit résultats, sans unité, est déjà rangée : 2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9. Elle contient huit valeurs ; son minimum vaut 2 et son maximum 9. Pour les quartiles, on retient ici la convention du rang entier supérieur.
1. La somme vaut 40. La moyenne est donc .
2. L'étendue vaut 9 − 2 = 7. Les rangs de Q1 et Q3 sont respectivement 2 et 6 : Q1 = 4, Q3 = 5, donc l'écart interquartile vaut 1.
3. Les carrés des écarts à 5 ont pour somme 32. Ainsi, , puis .
4. Les valeurs absolues des écarts ont pour somme 12 : l'écart absolu moyen vaut 12 / 8 = 1,5. Le schéma de la série permet de contrôler les extrêmes, les multiplicités et la zone interquartile. En refaisant les sommes, on retrouve 40, 32 et 12.
En pratique
Pour comparer la régularité de deux séries exprimées dans la même unité et sur la même échelle, l'écart-type utilise toutes les valeurs. Le plus petit indique alors une concentration plus forte autour de chaque moyenne.
Quand quelques valeurs extrêmes risquent de dominer le résumé, l'écart interquartile est souvent préférable. Le critère observable est la présence de points très éloignés du groupe central.
Pour vérifier si toutes les observations tiennent dans une amplitude imposée, l'étendue donne un contrôle immédiat. Si l'on veut connaître l'écart typique plutôt que les seuls extrêmes, l'écart-type ou l'écart absolu moyen est plus informatif.
À ne pas confondre
Dispersion et position. La moyenne, la médiane et le mode situent une série ; ils ne mesurent pas son étalement. Deux séries de moyenne 5 peuvent avoir des écarts-types différents.
Variance et écart-type. L'écart-type est la racine carrée de la variance, pas un autre nom pour elle. Pour une série sans unité, une variance de 4 donne un écart-type de 2.
Dispersion et incertitude de mesure. La dispersion décrit la variabilité des observations. L'incertitude concerne la précision attribuée à une mesure ; répéter une mesure mélange parfois les deux, sans les rendre identiques.
Limites et pièges
Une valeur extrême peut tout changer. L'étendue ne dépend que du minimum et du maximum ; la variance accentue les grands écarts en les élevant au carré. En présence d'un point isolé, il faut aussi examiner l'écart interquartile et la série elle-même.
Les quartiles dépendent d'une convention. Pour huit valeurs, certaines définitions interpolent tandis que la convention du rang entier supérieur retient les rangs 2 et 6. Il faut annoncer la convention avant de comparer deux résultats.
Le diviseur de la variance doit être précisé. La variance descriptive de la série divise par n. L'estimation corrigée à partir d'un échantillon divise la somme des carrés par n − 1 lorsque n est supérieur à 1.
Zéro est un cas charnière. Si toutes les valeurs sont égales, les cinq indicateurs cités valent 0. La réciproque vaut pour l'étendue, la variance, l'écart-type et l'écart absolu moyen. Elle est fausse pour l'écart interquartile : des valeurs différentes peuvent rester hors de la moitié centrale.
Pour aller plus loin
écart-type — Relier la racine de la variance à une distance exprimée dans l'unité des données.
quartile — Préciser le découpage d'une série ordonnée qui fonde l'écart interquartile.
étendue d'une série statistique — Approfondir l'indicateur qui ne conserve que le minimum et le maximum.
valeur moyenne — Revoir le centre utilisé pour calculer variance, écart-type et écart absolu moyen.
variance d'une variable aléatoire — Passer du calcul sur une série observée à la dispersion d'une variable aléatoire.
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