quartile

Rangeons neuf résultats du plus petit au plus grand : 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13 et 15. Trois repères découpent alors la série en quatre portions. Le premier quartile Q₁ vaut 5, le deuxième Q₂ vaut 8 et le troisième Q₃ vaut 12.

Q₂ est la médiane. La zone centrale définie par les quartiles se situe entre 5 et 12. La largeur de cet intervalle, 12 − 5 = 7, indique si cette partie centrale est plutôt resserrée ou étalée.

Les quartiles s'appliquent à une série de n données quantitatives rangées par ordre croissant. La donnée de rang entier i est notée x_i. Pour attribuer une valeur à un rang réel R, on utilise ici le rang généralisé : si r est la partie entière de R, la valeur est interpolée linéairement entre x_r et x_r+1.

Avec cette convention, les rangs des trois quartiles sont déterminés par le nombre n de données :

Le deuxième quartile Q₂ est la médiane. Q₁ et Q₃ définissent deux seuils qui délimitent une zone centrale approximative de la série : [Q₁ ; Q₃] est l'intervalle interquartile. Sa largeur Q₃ − Q₁, appelée écart interquartile, fournit un indice élémentaire de dispersion. Un diagramme en boîte représente cet intervalle par une boîte et marque la médiane à l'intérieur. Si la liste est présentée dans l'ordre inverse, il faut d'abord la réordonner par ordre croissant : les valeurs de Q₁, Q₂ et Q₃ ne s'échangent pas. D'autres conventions de calcul existent ; il faut donc annoncer celle qui est employée, surtout lorsque les rangs ne sont pas entiers.

Neuf résultats, déjà rangés par ordre croissant, sont disponibles : 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13 et 15. Le nombre de données est n = 9.

1. Les rangs généralisés sont (9 + 3) / 4 = 3 pour Q₁, (9 + 1) / 2 = 5 pour Q₂ et (3 × 9 + 1) / 4 = 7 pour Q₃.

2. Les valeurs occupant les rangs 3, 5 et 7 sont respectivement 5, 8 et 12. Ainsi, Q₁ = 5, Q₂ = 8 et Q₃ = 12.

3. L'intervalle interquartile est [5 ; 12]. Son écart vaut 12 − 5 = 7.

Le contrôle se refait en comptant les positions dans la liste : 5 est bien la troisième valeur, 8 la cinquième et 12 la septième. Si la liste est présentée en sens inverse, il faut d'abord la réordonner par ordre croissant : les quartiles restent Q₁ = 5, Q₂ = 8 et Q₃ = 12. Le diagramme en boîte résume ces cinq repères : minimum 2, Q₁ = 5, médiane 8, Q₃ = 12 et maximum 15.

Pour comparer des résultats de deux classes, on ordonne chaque série puis on regarde les boîtes. Si les médianes sont proches, l'écart interquartile révèle quelle classe présente les résultats centraux les plus homogènes. La moyenne reste utile lorsqu'on veut tenir compte de toutes les valeurs.

Pour décrire des salaires ou des durées comportant quelques valeurs extrêmes, Q₁, la médiane et Q₃ résument la zone centrale. On préfère la liste complète ou d'autres indicateurs lorsque la forme détaillée de la distribution compte.

Dans un tableur ou un logiciel statistique, on vérifie la convention de quartile avant de comparer deux résultats. Le contrôle est particulièrement important avec un petit effectif ou lorsque les rangs calculés ne sont pas entiers.

Quartile et quart. Un quart est une proportion égale à 25 % d'un total. Un quartile est une valeur seuil dans une série ordonnée. Dans la série 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, Q₁ vaut 5 : ce n'est ni 25 % de 15 ni le quart de la somme.

Quartile et groupe quartile. Q₁, Q₂ et Q₃ sont trois valeurs de coupure. Les quatre groupes qu'elles délimitent sont parfois appelés, par extension, des quartiles. Pour lever l'ambiguïté, il suffit de vérifier si l'on parle d'une valeur seuil ou d'un ensemble d'observations.

Quartile et quantile. Un quantile peut correspondre à n'importe quelle proportion choisie entre 0 et 1. Les quartiles sont les trois quantiles particuliers associés à 25 %, 50 % et 75 %. Un seuil à 90 % est donc un quantile, mais pas un quartile.

Effectif fini. Les quatre portions contiennent environ 25 % des observations, pas toujours exactement 25 %. Avec neuf données, aucun découpage en quatre groupes ne peut donner le même nombre entier d'observations à chaque groupe. Il faut interpréter les quartiles comme des seuils calculés selon une convention annoncée.

Rangs non entiers. Pour n = 8, le rang de Q₁ donné par (8 + 3) / 4 vaut 2,75. L'interpolation par rang généralisé et certaines conventions de logiciel peuvent produire des valeurs différentes. Il faut conserver la même convention dans tout calcul et la préciser lors d'une comparaison.

Valeurs répétées. Plusieurs quartiles peuvent coïncider. Si au moins la moitié centrale des données prend la même valeur, l'écart interquartile peut être nul sans que toutes les observations soient identiques. Il faut alors examiner aussi les valeurs extérieures à l'intervalle interquartile.

Résumé incomplet. Deux séries peuvent partager Q₁, la médiane et Q₃ tout en ayant des extrêmes ou des répartitions internes différents. Une boîte à moustaches signale ce résumé ; elle ne remplace pas les données ni un graphique plus détaillé lorsque leur forme importe.

Le quantile généralise le principe des quartiles à toute proportion choisie entre 0 et 1.

L'écart interquartile approfondit la mesure Q₃ − Q₁ et son usage comme indicateur de dispersion.

La boîte à moustaches montre comment les quartiles, la médiane et les valeurs extrêmes deviennent un résumé graphique.