Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
coefficient d'asymétrie
Le coefficient d'asymétrie, ou skewness, est une mesure statistique qui quantifie le degré et le sens de l'asymétrie d'une distribution. Plusieurs formulations existent : le coefficient de Yule est fondé sur les écarts entre les quartiles et la médiane (il est robuste aux valeurs extrêmes) ; le coefficient de Pearson est fondé sur l'écart entre la moyenne et le mode. Dans la lecture descriptive habituelle, une valeur positive est associée à une queue allongée vers les valeurs élevées, et une valeur négative à une queue allongée vers les valeurs faibles. Cette interprétation dépend de la formule et de la forme de la distribution : le signe de Pearson moyenne-mode ne prouve pas à lui seul le côté de la queue. Pour la formule considérée et lorsqu'elle est définie, la symétrie conduit généralement à une valeur nulle, mais une valeur nulle ne suffit pas à conclure que la distribution est symétrique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier le signe du coefficient au côté de la queue d’une distribution.
- Calculer les coefficients de Yule et de Pearson sur sept valeurs.
- Choisir entre une mesure fondée sur les quartiles et une mesure fondée sur la moyenne et le mode.
- Repérer les cas où une formule est indéfinie ou trompeuse.
En clair
Imaginez sept temps d’attente : 1, 2, 2, 3, 4, 8 et 10 minutes. Cinq valeurs se regroupent entre 1 et 4, tandis que deux attentes prolongent la série vers la droite. Le coefficient d’asymétrie résume ce déséquilibre. Dans la lecture descriptive habituelle, il est positif quand la queue s’étire vers les grandes valeurs et négatif quand elle s’étire vers les petites. Cette interprétation dépend cependant de la définition du coefficient et ne permet pas toujours, à elle seule, de décrire la forme globale. Selon la formule choisie, une valeur proche de zéro indique seulement que les repères comparés sont proches ; elle ne suffit pas à conclure que la distribution est globalement équilibrée ou symétrique.
Définition
Le coefficient d’asymétrie, aussi appelé skewness, mesure le sens et l’intensité du défaut de symétrie d’une distribution. Dans la lecture descriptive habituelle, un signe positif est associé à une queue plus longue du côté des grandes valeurs ; un signe négatif, à une queue plus longue du côté des petites valeurs. Cette lecture dépend toutefois de la formule employée : pour Pearson moyenne-mode, le signe indique seulement la position de la moyenne par rapport au mode et ne suffit pas à caractériser la forme globale. Pour les formules considérées ici, une distribution symétrique donne un coefficient nul lorsque les repères employés respectent cette symétrie et que le coefficient est défini ; la réciproque n’est pas garantie. La valeur numérique dépend elle aussi de la formule employée.
Pour le coefficient de Yule, le premier quartile Q1, la médiane Q2 et le troisième quartile Q3 partagent la série ordonnée. Dans cette fiche, pour un effectif n, Q1 est la valeur de rang et Q3 celle de rang ; Q2 est la médiane. Le coefficient compare les deux moitiés de l’intervalle interquartile : . Il est défini si Q3 est différent de Q1. Fondé sur les quartiles, il résiste mieux aux valeurs extrêmes.
Dans la formulation de Pearson fondée sur le mode, la moyenne est notée , le mode Mo et l’écart-type s. Pour s strictement positif, . La division par l’écart-type rend le résultat sans unité. D’autres coefficients portent aussi le nom de Pearson ; la formule doit donc toujours accompagner la valeur annoncée.
Un exemple, pas à pas
Sept clients ont attendu 1, 2, 2, 3, 4, 8 et 10 minutes. Les valeurs sont déjà rangées. L’effectif est 7, et l’écart-type sera calculé en divisant la somme des écarts quadratiques par 7.
Étape 1. Avec la convention de rangs retenue dans cette fiche, le premier quartile est la 2e valeur, la médiane la 4e et le troisième quartile la 6e. Ainsi, Q1 = 2, Q2 = 3 et Q3 = 8 minutes.
Étape 2. Le coefficient de Yule vaut . Son signe est positif.
Étape 3. La somme des attentes vaut 30 minutes. La moyenne est donc minutes, tandis que le mode vaut 2 minutes.
Étape 4. La somme des carrés 12 + 22 + 22 + 32 + 42 + 82 + 102 vaut 198. L’écart-type est minutes.
Étape 5. Le coefficient de Pearson vaut . Lui aussi est positif.
Les deux calculs signalent donc une asymétrie vers les grandes attentes. Le diagramme des sept valeurs rend cette queue droite visible. Pour contrôler les signes, il suffit de vérifier que Q3 − Q2 = 5 dépasse Q2 − Q1 = 1 et que la moyenne dépasse le mode.
En pratique
Avant tout calcul, tracez la distribution et cherchez de quel côté les valeurs rares prolongent la queue. Comparer le signe du coefficient à cette forme observable fournit un contrôle indicatif, à interpréter selon la variante employée. Pour Pearson moyenne-mode, le signe traduit l’ordre de la moyenne et du mode, sans garantir à lui seul l’orientation de la queue.
Lorsque quelques valeurs extrêmes risquent de tirer fortement la moyenne, le coefficient de Yule est préférable : il ne dépend que des quartiles. Si le mode est net et que l’écart entre moyenne et mode est l’information recherchée, la formulation de Pearson convient mieux.
Pour comparer plusieurs groupes, employez la même définition du coefficient et la même convention de calcul des quartiles et de l’écart-type. Indiquez toujours la formule avec le résultat, car le seul mot skewness ne précise pas la variante.
À ne pas confondre
Asymétrie positive et valeurs positives. Le signe décrit le côté de la queue, pas le signe des observations. Une série composée uniquement de nombres positifs peut avoir une queue à gauche et donc une asymétrie négative.
Coefficient d’asymétrie et moyenne. La moyenne localise un centre, tandis que le coefficient décrit un déséquilibre de forme. Deux séries peuvent partager la même moyenne tout en ayant des queues orientées en sens opposés.
Limites et pièges
Quartiles confondus. Si Q1 = Q3, le dénominateur du coefficient de Yule vaut 0. Le calcul est impossible ; il faut décrire la concentration des données ou choisir une autre mesure adaptée.
Mode absent ou dispersion nulle. La formulation de Pearson donnée ici exige un mode exploitable et un écart-type strictement positif. Si plusieurs modes existent, le coefficient n’est pas déterminé de manière unique sans règle de sélection supplémentaire ; si aucun mode n’est exploitable, ou si toutes les valeurs sont identiques et s = 0, cette formule ne fournit pas de résultat.
Valeur extrême. Une observation très éloignée déplace la moyenne et l’écart-type, donc le coefficient de Pearson. Le symptôme est un résultat qui change fortement après le retrait d’une seule valeur ; le coefficient de Yule offre alors un contrôle plus robuste.
Coefficient nul. Une distribution symétrique produit une valeur nulle, mais la réciproque n’est pas garantie pour toute formule. Si le coefficient vaut exactement 0, le graphique et les quantiles restent nécessaires avant d’affirmer une symétrie complète.
Pour aller plus loin
Quartile — Préciser le découpage ordonné sur lequel repose le coefficient de Yule.
Écart-type — Voir comment la dispersion met le coefficient de Pearson à l’échelle.
Mode d'une série statistique — Identifier la valeur la plus fréquente utilisée par la formulation de Pearson.
Valeur moyenne — Revoir le centre sensible aux valeurs extrêmes qui intervient dans le coefficient de Pearson.
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