Probabilités et statistiquesObjet mathématique · Glossaire
mode d'une série statistique
Dans une série statistique, le mode est l'une des mesures de tendance centrale. Il désigne la valeur du caractère statistique qui apparaît avec le plus grand effectif ou la fréquence la plus élevée. Une série peut posséder plusieurs modes lorsque plusieurs valeurs atteignent simultanément cet effectif maximal. Lorsque les données d'un caractère continu sont regroupées en classes, on parle de classe modale. Si les classes ont toutes la même amplitude, la classe modale est celle qui présente le plus grand effectif et l'on peut, selon la méthode choisie, retenir conventionnellement son centre comme estimation du mode, sans déterminer ainsi le mode exact ; si les amplitudes diffèrent, on compare les effectifs rapportés à l'amplitude et l'on identifie la classe correspondant au quotient le plus élevé. Le mode constitue un paramètre de position, au même titre que la médiane et la moyenne.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître le mode comme la valeur dont l’effectif est maximal.
- Déterminer un mode unique ou plusieurs modes par un comptage vérifiable.
- Identifier une classe modale avec des amplitudes égales ou inégales.
- Distinguer mode, moyenne, médiane et classe modale sur les mêmes données.
En clair
Douze temps d’attente ont été relevés. La durée de 20 minutes apparaît trois fois, davantage que toute autre durée : elle est le mode de cette série. Le mode est donc la valeur que l’on rencontre le plus souvent, pas nécessairement la plus grande. Si plusieurs valeurs partagent le même effectif maximal, la série possède plusieurs modes. Quand des mesures continues sont regroupées par intervalles, la classe modale est celle de plus grand effectif si les intervalles ont la même amplitude ; sinon, on compare les effectifs rapportés à leur amplitude.
Définition
Le mode d’une série statistique non vide est une valeur du caractère dont l’effectif, ou de façon équivalente la fréquence, est maximal. Pour chaque valeur observée distincte x de la série, on note nx son effectif. Une valeur m est un mode exactement lorsque , le maximum portant sur ces valeurs observées distinctes. Cette définition s’applique aussi lorsque le caractère est qualitatif et que les valeurs sont des catégories.
Un maximum atteint par une seule valeur donne un mode unique. Si plusieurs valeurs atteignent le même maximum, elles sont toutes des modes : la série est notamment bimodale lorsqu’elles sont deux. Le mode est un paramètre de position, comme la médiane et la moyenne, mais il répond à la question de la valeur la plus fréquente.
Pour un caractère continu regroupé en classes, l’information disponible conduit à une classe modale. Avec des classes de même amplitude, il s’agit de celle qui a le plus grand effectif, et son centre peut, par convention, fournir une estimation du mode ; ce regroupement ne permet pas d’en déterminer la valeur exacte. Si les amplitudes diffèrent, chaque effectif doit être rapporté à l’amplitude de sa classe ; la classe au quotient le plus élevé est alors modale.
De quoi c'est fait
La recherche du mode mobilise cinq éléments. Les observations sont les données recueillies. Le caractère précise ce qui est observé, par exemple une durée. Ses valeurs sont les résultats distincts. L’effectif compte les occurrences de chaque valeur, tandis que la fréquence rapporte cet effectif au total. Enfin, le maximum de ces effectifs désigne le ou les modes.
Les valeurs dépendent donc du caractère choisi, et le mode dépend directement de leur comptage. Pour des données continues regroupées, les valeurs sont remplacées par des classes. L’amplitude de chaque classe devient alors indispensable : elle détermine si les effectifs bruts sont comparables ou s’ils doivent être divisés par cette amplitude. Avec ces données regroupées, on peut identifier une ou plusieurs classes modales, mais pas la valeur exacte du mode.
Un exemple, pas à pas
Douze temps d’attente, en minutes, sont relevés : 18 ; 19 ; 19 ; 20 ; 20 ; 20 ; 21 ; 22 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25.
Étape 1. Comptez les occurrences : les effectifs de 18 à 25 sont respectivement 1, 2, 3, 1, 2, 1, 1 et 1.
Étape 2. Le maximum 3 est atteint uniquement par 20. Le mode est donc 20 minutes, de fréquence , soit 25 pour cent.
Étape 3. Vérifiez qu’aucune autre valeur n’apparaît trois fois : le mode est unique.
Étape 4. Avec les classes d’amplitude 2 [18 ; 20[, [20 ; 22[, [22 ; 24[ et [24 ; 26[, les effectifs 3, 4, 3 et 2 rendent [20 ; 22[ modale. Son centre, 21 minutes, estime le mode après regroupement.
Étape 5. Avec [18 ; 20[, [20 ; 22[ et [22 ; 26[, divisez les effectifs 3, 4 et 5 par les amplitudes 2, 2 et 4 : 1,5 ; 2 ; 1,25. Le maximum corrigé désigne encore [20 ; 22[.
Le diagramme contrôle le résultat : seule la barre de 20 minutes atteint 3. Le mode exact 20 diffère du centre 21 après regroupement.
En pratique
Dans un questionnaire à réponses catégorielles, le mode donne la réponse la plus choisie. Une moyenne n’a pas de sens pour des étiquettes sans valeur numérique ; il faut toutefois signaler toutes les réponses ex æquo si le maximum est partagé.
Pour des tailles ou des formats vendus, le mode repère la variante la plus fréquente dans les observations disponibles. Si la question porte plutôt sur une valeur centrale ordonnée ou sur un partage du total, la médiane ou la moyenne répondent à un autre besoin.
Dans un histogramme de mesures continues, on cherche la classe modale. Des classes de même largeur permettent de comparer les effectifs. Avec des largeurs différentes, il faut comparer les effectifs rapportés aux amplitudes, faute de quoi une classe large paraît favorisée parce qu’elle couvre davantage de valeurs.
À ne pas confondre
Mode et moyenne. Le mode maximise l’effectif ; la moyenne divise la somme des valeurs par leur nombre. Dans l’exemple, le mode vaut 20 minutes, tandis que la moyenne vaut 253 ÷ 12, soit environ 21,08 minutes.
Mode et médiane. La médiane repose sur les positions dans la série ordonnée : elle n’est pas définie par la valeur dont l’effectif est maximal, même si toutes les répétitions sont prises en compte. Les sixième et septième durées de l’exemple sont 20 et 21, donc la médiane vaut 20,5 minutes, contre 20 minutes pour le mode.
Mode et classe modale. Le mode est une valeur observée précise. La classe modale est un intervalle issu d’un regroupement. Dans l’exemple, 20 minutes est le mode, alors que [20 ; 22[ est la classe modale et que son centre, 21 minutes, n’est qu’une estimation après regroupement.
Limites et pièges
Maximum partagé. Si deux valeurs ou davantage atteignent le même effectif maximal, en choisir une seule efface de l’information. Il faut annoncer tous les modes et, s’il y en a exactement deux, parler de série bimodale.
Valeurs toutes distinctes. Si chaque valeur apparaît une fois, elles atteignent toutes le même maximum, égal à 1. Selon la convention retenue, on dit que toutes sont modales ou que la série n’a pas de mode pertinent ; la convention doit être explicitée.
Classes d’amplitudes inégales. Le plus grand effectif brut peut désigner la mauvaise classe. Dans le regroupement 3, 4 et 5 sur des amplitudes 2, 2 et 4, les quotients 1,5, 2 et 1,25 placent le maximum dans la deuxième classe, pas dans la troisième.
Perte due au regroupement. Une classe modale localise une zone, pas forcément la valeur la plus fréquente des données initiales. Ici, le mode exact vaut 20 minutes, tandis que le centre de la classe modale vaut 21 minutes. Il faut conserver les données non regroupées lorsqu’une valeur exacte est requise.
Pour aller plus loin
Moyenne arithmétique — Comparer la valeur la plus fréquente à celle qui répartit également la somme des observations.
Médiane d’une série statistique — Relier le classement des observations au partage de la série en deux moitiés.
Effectif — Approfondir le comptage qui sert à comparer les valeurs et à repérer le maximum modal.
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